지금 공대 1학년인데 이산수학 하면서 수학적 귀납법 배운거 정리하다가 induction axiom이란게 있길래 찾아보게 되었는데 요거 나오는 페아노 공리계가 좀 재미있더라고요
이거 언제 무슨 과목에서 배우나요? 수학과에서는?
[대학교이상] 페아노 공리계는 언제 배우나요?
익명(222.100)
2022-04-09 15:36
추천 2
댓글 29
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집합론이나 해석학? 근데 저희는 안배우고넘어감
그렇군요...
해당 댓글은 삭제되었습니다.
시간이 나면 페아노 공리계로 자연수의 연산 법칙을 증명해 보세요.
요거 재밌네요 근데 번역이 살짝 아쉬운데 번역 기여하는 방법 있을까요?
집합론에서 자연수 배우면서 페아노도 배움
하지만 페아노 공리계를 공리처럼 다루진 않음. 페아노 공리계는 어떤 집합이 페아노 공리계에서 명시하는 성질을 만족하면 그게 자연수임을 말해주긴 하지만 그러한 집합의 존재성까진 보장하지 못함.
그래서 자연수집합을 다른 방법으로 구성하고 그렇게 구성된 집합이 유일하며, 페아노 공리계의 성질들을 만족함을 증명함.
아하 신기하네요 그럼 수학적 귀납법은 어떻게 다루나요? 수학적 귀납법이 성립한다는것도 공리로 생각하지 않나요?
ㅇㅇ 수학적 귀납법 자체가 공리중 하나라고 생각하면 됨.(무한공리) 이걸 사용해서 자연수집합을 직접 구성함. 귀납집합들 중에 제일 작은게 자연수집합임
오잉 induction axiom도 페아노 공리계에 있던데 이거는 다른애들이랑 다르게 공리로 다룬다는거죠? 다른애들은 그냥 자연수라면 필요한 성질같은 느낌으로 써먹는데?
귀납 공리도 집합론의 공리에서 이끌어 낼 수 있지만, 무한 공리가 사실상 '귀납 공리와 다를 바 없다'는 말 같은데요?
귀납 공리의 증명:
http://us.metamath.org/mpeuni/peano5nni.html
induction이 페아노 공리에도 있는지랑은 상관없이 ZFC에서의 공리를 말한거임. 이걸로 자연수 구성하는거. 그러니까 페아노 공리는 ZFC에 포함되는거로 볼 수 있지
페아노 공리계(PA)가 ZFC에 포함되는 건 아님. PA와 ZFC는 명시적으로 정의된 문장들의 집합이고 (사용하는 언어도 다르고, (Peano arithmetic이 아닌) Peano Axioms는 2차 논리 체계를 사용함), 우리가 알 수 있는건 ZFC가 PA의 일관성을 증명한다는 것임.
그리고 Induction principle은 Axiom of Infinity와 별 관련 없음. 이건 단지 ZFC에서 자연수 집합이 well-ordered라는 사실로부터 도출됨. 그리고 귀납집합 전체의 집합을 교집합하여 자연수 집합을 정의하는 방식에는 매우 큰 문제가 있는데, 이건 ZFC에서 보장된 방식이 아님. 귀납집합들을 다 모으면 그건 과연 집합일까?
아 근데 난 ZFC로 집합론 안배우고 NBG로 배움 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 그래서 집합이 아니라 클래스만 다뤄서 저 방식을 사용함. ZFC에서의 구성도 똑같은줄 알았는데 다른가봐?
ZFC에서 다루는 모든 대상이 바로 집합임. (ZFC에서) 집합이 뭐냐고 묻는다면, 말 그대로 "수학의 모든 것". NBG는 그래도 ZFC의 conservative extension이라, NBG에서 증명가능한 "집합에 관한" 모든 명제는 ZFC에서도 증명 가능함. 다만 이제 NBG에서는 Class의 존재, Axiom of size limitation 이런 것들이 있어서 좀 더 재미있는 or 귀찮은 일을 할 수 있지. Category theory를 할 거면 나름 매력적으로 보인다만, 문제는 NBG에서 class는 누군가의 element가 될 수 없기 때문에, category들의 category를 (NBG에서는) 다룰 수 없겠지.
님 대학원생임? 이것저것 많이도 아네
님 갤로그 한 번 보셔요.
갤로그? 내 갤로그에 아무것도 없는데
방명록
방명록에 무규규거리는 이상한애밖에 없어
새로 하나 글 올렸는데, 비밀글로 쓰면 계정 주인에게도 안 보이나?
아 간편로그인이라서 안보이는듯 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ ㅈ망했네 식별코드인지 뭔지 모르는데 ㅋㅋㅋㅋ 없어도 별로 안불편하니까 그냥 냅둘까
비밀글 아닌 거 하나 올렸다
나 최근에 오픈카톡 잘못들어갔다가 좀 곤란한 일을 겪어서 오픈카톡은 피하고있다.. ㅈㅅㅈㅅ 어쨌든.. ㅈ목으로 대댓이 너무 길어졌구만 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
어느 형식 체계에서의 공리가 다른 형식 체계에서는 정리일 수 있다는 점만 유의하면 될 듯해요.
아! 그거 들어본적 있어요 어디선 실수의 완비성을 증명하고 어디선 공리로 둔다는거 같은거 말이죠? 그러도록 할게요