Function space, Orthogonal, 이런 개념들을 전혀 아무것도 모르더라도, 푸리에 트랜스폼의 원리는 직관적으로 이해가 가능하다.

어떤 함수 f:R→C 이 주어져있다고 해보자.
이 함수의 인버스 푸리에 트랜스폼 f(x)=k∫F(w)e^(iwx)dw 라는 식은, 인테그랄을 시그마의 형태로 풀어서 쓰면 결국 다음과 같은 꼴이 된다
(1/k)f(x) = ...
+ (0.001)(a)(e^{(i)(1.998)(x)})
+ (0.001)(b)(e^{(i)(1.999)(x)})
+ (0.001)(c)(e^{(i)(2.000)(x)})
+ (0.001)(d)(e^{(i)(2.001)(x)})
+ (0.001)(e)(e^{(i)(2.002)(x)})
+ ...


(F(w)는 x에 대해 상수이므로 그냥 a, b, c ... 로 바꿔썼다.)
이 식이 의미하는 바는 결국 교과서에서 배우듯이, 주어진 함수 f(x)를 여러개의 complex sinusoidal function들의 일차결합꼴로 나타내는 것 뿐이다.
푸리에 트랜스폼은 저기서 a, b, c, d...의 값이 무엇인지가 궁금하니까, 그걸 찾아내는 과정이다. 저걸 도대체 어떻게 찾아낼까?
∫f(x)e^(-iwx)dx 가 푸리에 트랜스폼의 식인건 알겠는데, 이 식이 무슨 원리로 a, b, c, d의 값을 찾을 수 있는걸까? 직접 하나의 예시를 들어서, 그냥 적분을 그대로 쭉 풀어쓰면 직관적으로 금방 알 수 있다
w=2.000일때의 푸리에 트랜스폼을 계산해보자.
∫
( ...
+ (0.001)(a)(e^{(i)(1.998)(x)})
+ (0.001)(b)(e^{(i)(1.999)(x)})
+ (0.001)(c)(e^{(i)(2.000)(x)})
+ (0.001)(d)(e^{(i)(2.001)(x)})
+ (0.001)(e)(e^{(i)(2.002)(x)})
+ ...)(e^{(i)(-2.000)(x)})dx
적분은 선형연산이므로, 내부의 덧셈을 바깥으로 뺄 수 있다. 그러면 다음과 같이 된다.
=
...
+∫(0.001)(a)(e^{(i)(1.998)(x)})(e^{(i)(-2.000)(x)})dx
+∫(0.001)(b)(e^{(i)(1.999)(x)})(e^{(i)(-2.000)(x)})dx
+∫(0.001)(c)(e^{(i)(2.000)(x)})(e^{(i)(-2.000)(x)})dx
+∫(0.001)(d)(e^{(i)(2.001)(x)})(e^{(i)(-2.000)(x)})dx
+∫(0.001)(e)(e^{(i)(2.002)(x)})(e^{(i)(-2.000)(x)})dx
+...
그러면 저기서 덧셈의 세번째 항, 즉
∫(0.001)(c)(e^{(i)(2.000)(x)})(e^{(i)(-2.000)(x)})dx
이녀석만, 다음과 같이 되서,

=∫(0.001)(c)(e^{(i)(0)(x)})dx
=∫(0.001)(c)(e^0)dx
=∫(0.001)(c)(1)dx
=∫(0.001)(c)dx

0이 아닌 값을 갖게 된다.  

그 외의 덧셈의 나머지 항들은 다 0이 되어버린다.

왜 0이 되는걸까?
나머지 항들은 결국
∫(0.001)(c)(e^{(i)(a)(x)})(e^{(i)(-b)(x)})dx 꼴이므로,
=∫(0.001)(c)(e^{(i)(a-b)(x)})dx
=∫(0.001)(c)(e^{(i)(h)(x)})dx
=∫cos(hx)dx + (i)∫sin(hx)dx
이 된다.
그런데 x변수의 적분 구간이 무한대이므로, sinusoidal 함수들의 적분은 당연히 0이 된다. 굳이 이상적분을 직접 할 필요도 없이 사인함수와 코사인함수의 그래프의 모양을 생각해보면 당연하게 느껴진다.
그러므로, 저 푸리에 트랜스폼의 적분식의 결과는 오로지
∫(0.001)(c)dx
뿐이 된다.
다시말해서 함수 f(x)를 Complex Sinusoidal들의 일차결합으로 나타냈을 때 앞에 붙는 계수들 a, b, d, e, ... 의 정보는 죄다 0이 되어 사라져버리고, 오로지 c라는 계수의 정보만 남게 된다.
이게 푸리에 트랜스폼의 원리를 덧셈뺄셈처럼 직관적으로 이해하는 팁이다.
즉 요지는, 어떤 푸리에 트랜스폼 F(w)(또는 F(jw)라고 표현해도 좋다. 이때는 Bilateral 라플라스 변환 F(s)와 완전히 동일한 함수로 여기며 사용이 가능하다는 장점이 있다) 적분 식 내부에서 구체적으로 일어나는 일은, '주파수가 w인 항을 제외하면 e의 지수가 0이 아니게 되어버린다'라는 것을 알아채면 된다. 그리고 정현파 함수의 -무한대 ~ 무한대 범위의 적분은 0이 된다는 것을 잊지 않으면 된다.
오로지 주파수가 w인 항만이 e의 지수가 0이 되고, x에대한 적분 결과가 0이 아니게 된다.