[대학교이상] 고교과정으로 이거 로피탈없이 증명 가능한가요

[익명(118.235)]

n번 미분가능한 함수 f(x)가

lim x->0 f(x)/x^n =0을 만족시키면

f(0)=f'(0)=f"(0)=...=f^(n)(0)=0

증명가능한가요?? 로피탈없이고교과정으로

- dc official App

[익명(121.166)]

n=1일땐 그냥 미분계수 정의 쓰면 될거고 n=1일때 되니까 x^n = x * x^{n-1} 로 놓고 귀납법으로 잘 하면 되지 않을까?

[익명(118.235)]

f(0)=...f^n(0)=0임을 통해서 f^n+1(0)=0을 보일수가잇으려나요? 극한을 건드려야되는데 저거로 딱히길이안보이는것같아서 - dc App

[익명(118.235)]

n계도함수가 x=0에서 연속이어야 가능한거아냐?로피탈쓴다해도 그게보장돼야할거같은데 - dc App

[익명(77.103)]

그건 로피탈 n-1번 적용하면 lim x->0 f^(n-1)(x) / x의 극한이 존재하면 0이다라는 논리로 귀결되는데, f^(n-1)(0) = 0인걸 유도하면 이 극한값은 n계도함수의 존재성으로부터 f^(n)(0)으로 향하니까 상관없을듯. f^(1)(0) = ... = f^(n-1)(0) = 0인건 로피탈 써서 마찬가지로 수학적 귀납법 통해서 보일수 있고.

[익명(118.235)]

아 그냥 x없어질때까지 n번해서못봣네 ㄱㅅㄱㅅ - dc App

[익명(125.176)]

로피탈 없이는 안됨

[익명(77.103)]

고교 수준의 범위가 어느정도인지 모르겠으나, 극한의 기본 성질과 롤의 정리의 사용을 허용한다면 코시 평균값 정리를 그 두개로 유도할수 있고, 코시 평균값 정리로부터 본문의 내용을 보이는데 필요한 로피탈을 유도할 수 있다. 수리논술 같은데서 물어보면 그냥 로피탈 증명하고 쓰면 됨.