[일반] R^n에서 벡터의 원소는 왜 점이야?

[익명(211.36)]

선대배우고 있거든, 배우기 전에는 벡터는 크기와 방향을 가지고 있다고 해서

R^2에서 벡터는 (크기, 방향=각도)로 이루어진줄 알았는데

R^3에서는 (크기, 2차원각도, 얼마나 올라가는지 각도)

R^2에서 그냥 벡터의 원소를 (x, y)로 정의하더라고, x,y는 실수

왜 이렇게 한거야?

벡터공간을 정의하기 위해 두 연산 (벡터의 합)과 (스칼라곱)을 잘 정의하기 위해서 그런건가?

나 이딴 질문하는거 수학적 재능 없는거임?

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[익명(211.36)]

ㅇㅎ ㄳㄳ

[익명(211.36)]

"~수학적으로 동치류 개념이 들어가게됨" 이게 무슨뜻이야? 그냥 두 벡터가 같다고 정의하는건가?

[익명(211.36)]

ㅇㅎ 감사감사

[ultraproduct(ultraproduct)]

선대 교재에 벡터의 정의를 보는 게 좋을 것 같은데.

[익명(211.36)]

공대생이고 입문자용 선대책으로 공부하고 있는데 다보고 프리드버그 같은걸로 복습할까

[익명(125.176)]

시점이 정해지면 종점과 R^n의 벡터 집합이 일대일대응을 이뤄서

[익명(121.166)]

1. 어차피 같은 정보를 가지고 있음 2. 당연하지만 덧셈이든 스칼라곱이든 행렬곱이든 (x, y)가 더 편하다 3. 니가 한 좌표표시법을 극좌표라고 부르고, 비슷한 걸론 stereographic projection이라는 게 있음 4. 뒤에서 이제 Linear Map과 벡터의 Matrix Representation을 배우면 (x, y)가 아주 자연스러울거임 간단히 말하자면 임의의 vector space V(R^n 이든 아니든)과 그 basis가 주어지면 v = x1 v1 + ... + xn vn 으로 표현할 수 있는데, 이때 벡터의 행렬 표현을 (x1, ..., xn)^T 라 할 수 있고, 이는 Linear Map의 행렬 표현과 아주 자연스럽게 연계됨.

[익명(211.36)]

오 ㅋㅋ ㄹㅇㄳㄳ

[익명(182.31)]

기저가 하나로 고정해서 정해져 있을 경우 같은 말이라서 그럼. 수학적으로는 벡터공간을 좀 더 추항화 시켜서 어떤 사칙연산이 정해져 있는F와 덧셈이 잘 정의되어 있는V로서 보거든. 그러면 벡터공간의 원소로서 벡터를 점인 것 마냥 취급해도 문제없지. 다만 이런 수학적 벡터공간에서 크기와 방향은 바로 자연스럽게 나오지 않음

[익명(182.31)]

크기와 방향을 논하려면 노름 또는 내적 둘 중에서 하나는 잘 정의되어야 비로서 크기와 방향을 이야기 할 수 있음. R^n의 경우, 사칙연산F = 실수집합R, 덧셈V=R^n 이라도 암묵적 합의가 되어 있음. 노름도 피타고라스 정리의 일반화, 내적도 (a1,...,an)과 (b1,...,bn)을 내적하면 (a1b1,...anbn)으로 암묵적 합의가 있고

[익명(182.31)]

이 때 내적은 물리적으로 두 벡터의 크기를 곱하고 코사인세타를 곱한 것과 같은 의미를 지님. 처음 글쓴이의 질문으로 돌아와서 R^n에서 벡터를 하나의 점마냥 표시 하더라도 그 벡터의 크기와 방향 시점과 종점, 벡터들간의 합과 스칼라곱 등등 모든 것을 표현가능+수학적으로 일반화 확장하기 편해서 그렇게 "표기"하는 것 뿐이야

[익명(182.31)]

애초에 벡터공간이 실수가 아닌 집합에서의 사칙연산을 일반화를 연구하는 무렵에서 도입되기 시작했다는 것을 생각해보면 자연스러운 일이지. 미적도 실수에서 실수로 가는 연속함수에서 처음 배우지만 나중에는 실수가 아닌 집합에서도 덧셈 실수배(스칼라곱) 만으로도 다루잖아.

[익명(182.31)]

그러니까 수학의 역사적으로 보면 R에서 x,y들 간에 지지고 볶고 하던걸 R^2 (a,b) (c,d)들 간에도 지지고 볶고 가능할까? 연구하다 그런걸 물리적 공학적 측면에서 이걸 우리 이론에 응용해서 써먹으면 되겠네. 이걸 이용해서 표현하면 되겠네 한거임. 다행히 그 당시에는 그 때의 수학으로 가능했기에 그랬던 거고, 지금은 수학적 발전이 못 따라가고

[익명(211.36)]

이제 봄... 정말 고마워