[일반] [통계] 이중기대값 정리 관련 문제 질문드려요

[익명(49.142)]

Z=g(W)일 때
E[E(Y|Z)|W] = ?
E[E(Y|W)|Z) = ?
둘 다 답이 E(Y|W) 인가요??

첫 번째에선 Z가 W의 함수인데 E(Y|Z)는 Z의 함수이기 때문에 결국 E(Y|Z)는 W의 함수로 E(Y|W)와 같기 떄문이고

두 번째에서 Z가 W의 함수니까 결국 E[E(Y|W)|Z]는 E[E(Y|W)]와 같다고 생각했어요..

제 생각이 틀린 건가요..?ㅠㅠ

[익명(50.30)]

반대로 둘 다 E(Y|Z)입니다. Conditional expectation을 projection으로 생각하면 편해요. Z = g(W)니까 Z를 W안의 subspace라 생각하고 보면, E(Y|Z)는 Y를 Z공간에 project시킨건데, 이걸 다시 W에 project시켜봤자 그대로겠죠.. 어차피 이미 Z는 W 안에 있으니까

[익명(50.30)]

반대로 E(Y|W)는 Y를 W로 projection 시킨거네요. 얘를 한 번 더 Z에 projection시키면, E(Y|W)중 Z가 아닌 부분도 Z로 projection 시켜줘여할테고, 그럼 E(Y|Z)가 될 거에요.

[익명(222.110)]

그렇군요.. 감사합니다.. ㅠ