어떤 임의의 nxn non-invertible 행렬 A가 주어져있을 때,

"연립일차방정식
Ax=b
는 '해가 없는 경우(impossible)' 가 반드시 존재한다"

라는걸 증명할 수 있나요??(x랑 b는 R^n 열벡터임)


행렬 A가 성분이 뭐가 되든 상관없이 비가역이기만 하면 말이에요.


'해가 무수히 많은 경우(indeterminate)는 반드시 존재한다'는 b에 영벡터 넣고 가역행렬의 기본정리 쓰면 되는데, '해가 없는 경우가 반드시 존재한다'는 생각만큼 잘 안되네요.


질문 확인해주셔서 감사합니다
(수정)
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생각해보니까 걍 간단하게 이렇게 하면 될 것 같은데 맞을까요??


A가 비가역이다 ←→ A의 행벡터들의 집합은 일차종속이다

→A의 행벡터들 n개 중, 최소한 한 개의 행벡터(v1)은 다른 나머지 행벡터들(v2, v3, ... , vn)의 일차결합으로 나타낼 수 있다

그러면 이 때, v1 = (k1)(v2) + (k2)(v3) + ... + (kn-1)(vn) 이라고 두자.


그리고 R^n 벡터 b의 성분으로써, 행렬 A에서 행벡터들 v2, v3, ..., vn 이 차지하는 행에 대해 각각 c1, c2, ... , cn-1 이라는 상수를 넣는다.


그리고 행렬 A에서 행벡터 v1이 차지하는 행에는, h≠(c1)(k1)+(c2)(k2)+(c3)(k3)+...+(cn-1)(kn-1) 인 어떤 값 h를 넣는다.
그러면
  
v1 = (k1)(v2) + (k2)(v3) + ... + (kn-1)(vn) 인데
h ≠ (k1)(c2)+(k2)(c3)+(k3)(c4)+...+(kn-1)(cn-1) 이므로,

이 연립일차방정식은 불능이다.

이러면 되는 것 같은데 맞나요??