집합 A, B에 대하여 ' A ⊂ B ' 와 동치인 명제가
'x∈A 이면 x∈B 이다.' 인데, 이것을 p 이면 q 이다. 로 본다면 집합론에 따르면 이 명제를 부정하면
~ 'p 이면 q' 는 'p 그리고 ~q' 와 동치인데, 그러면 저 식의 부정은 'x∈A 이고, x∈B이 아니다.' 이렇게 나오지 않나요?
그런데 그 가정문을 부정한 명제는 아무런 의미도 없어보입니다.
그래서 생각하는 방법이 'x∈A 이면 x∈B 이다.' 는 사실 '임의의 x∈A에 대하여, x∈B이다.' 와 동치인 명제로 해석할 수 있을것같고 (추측)
이 명제를 부정하면 '어떤 x∈A에 대하여, x∈B이 아니다.' 즉 ' A에 속하지만 B에는 속하지 않는 원소 x가 존재한다.' 라는 명제를 얻고 이것은 실제로 가정문의 부정으로써 의미를 가진 명제라고 생각됩니다.
그런데 집합론의 가정문에 대한 논리, 정의가 맞다면, 왜 위의 방법으로 얻어진 부정문은 의미가 없고
밑의 방법으로 약간 변형하여 얻어진 부정문은 의미가 있는 것처럼 보일까요? 애초에 왜 서로 다른 부정문이 얻어질까요?
형식적으로 깐깐하게 생각하면 'x in A -> x inB'는 formula(식)이긴 해도 sentence(문장)이 아니니까, 진리치를 가지지는 않는 거지.
"원소 x가 집합 A에 들어간다. 이면 원소 x가 집합 B에 들어간다." 도 문장이지 않을까요?
우리가 일상생활에서 말하는 '문장'이랑 의미가 좀 달라요.
네가 물어본 그 formula에는 변수 x가 속박변수가 아니기 때문에(양화사에 묶여있지 않기 때문에) 문장이 아님.
variable이 아니라 constant를 쓰면 문장이 되긴 함.
이렇게 적으면 됨. '(for all x)(for all y)([x is contained in y] <-> (for all z)(z in x -> z in y))' 모바일 키보드로 기호 적기 불편해서 영문 쓰긴 했는데, 적당히 기호로 바꿔주면 된다.
그리고, ZF기반 집합론에서는, 엄청나게 깐깐하고 형식을 지키면서 말하자면, 이항 관계를 나타내는 기호 E (x in y 할 때 바로 그거) 말고는 쓰지 않는다. 다만 새로운 기호는 저거 위에서 조금 긴 뭔가를 축약한 편의성 기호일 뿐. (부분집합 기호를 보면 이해가 갈거임)
정확히 말하자면 A ⊆ B ↔ ∀x (x ∈ A → x ∈ B)예요. 여기서 A, B는 부류[class] 변수이고, x는 집합 변수입니다. URL:
http://us.metamath.org/mpeuni/dfss2.html
설명 감사합니다. 그러면 혹시 밑의 방법으로 이해해도 문제가 없을까요?
근데 보통 ∀x 같은 보편 정량어(보편 양화사, universal quantifier)를 생략하다 보니 혼동이 생기는 듯하네요. 언제 어디서 정량어가 생략됐는지 잘 파악하는 일이 중요합니다.
아, 오히려 아래의 방식으로 이해하셔야 합니다.