[일반] 무한소 생성자(infinitesimal generator)가 뭔지 아시는

[익명(223.62)]

확률과정공부중에 나왔는데 검색해도 도저히 어떤개념인지 모르겠습니다ㅜ

[익명(165.132)]

모르면 공부하라노

[익명(223.62)]

리 군 나오던 파트에서 본 것 같은데

[익명(121.88)]

그냥 벡터필드 말하는거 아님? 아님말고

[익명(121.183)]

매끈한 다양체 위에서의 flow를 생성해주는 벡터장 말하는건가? 그걸 infinitesimal generator라고도 부르니깐

[문과(118.220)]

함수해석 개념이긴 함. 시간을 지수(index)로 갖는 연산자(operator) 모임 {P_t}가 있으면 이 연산자에 대한 미분이라는 걸로 보는 게 편함. 대략 lim_{h→0} (P_h-P_0)/h 이런 식으로 두는거임. 이런걸 왜 생각하냐면, 편미방에서도 초기정보를 알고 있을 때 적당한 kernel가지고 t시점 뒤의 값을 완전히 아는 경우(evolution process), 그리고 확률과정에서는 주어진 확률과정의 t시점 뒤의 미래예측 E(X_t) 같은 걸 어떤 좋은 조건에서는 초기치 값 X_0=x만을 알고도 알 수도 있음. 만약 그런 구조가 보장만 된다면야 초기정보(함수)에다가 함수공간 상의 적당한 연산자 P_t를 먹이면 t시점 뒤의 값을 알게 된다. 이런 얘기를 할 수 있게 됨. 미래값을 안다고 과거값

[문과(118.220)]

을 알게 된다는건 웃기는 일이니까 보통은 정방향만 생각함. 그래서 저 연산자 모임을 가리켜서 semigroup 구조를 갖는다고 함. 대충 좋은 성질을 갖는 애들은 아까 말한 미분개념을 도입할 수 있게 될 것임. 근데 보통은 그 연산자 P_t가 도대체 뭔지를 알고 싶은 경우가 많은데, 일반적으로 쉽지는 않음. 그런데 Hille-Yosida-Philips 이렇게 세 아저씨들이 Semigroup 연산자들, Infinitesimal operator(아까 그 미분같은거), Resolvent operator(그런 게 있음) 얘네 3개가 서로서로를 설명해주는 1-1 대응관계가 있음. 그래서 semigroup모르겠으면 infinitesimal generator를 구하든 resolvent operator를 구하든 해서 원래

[문과(118.220)]

구하고 싶던 semigroup 연산자를 구할 수 있게 됨. 대충 이런 마인드로 접근하다보니 infinitesimal generator를 알았으면 이걸로 semigroup을 복원할 수 있게 되면 좋을 것임. 근데 아까 말했듯 semigroup을 마치 미분하듯이 해서 얻어낸 게 infinitesimal generator라고 했으니, 거꾸로 infinitesimal generator에 대해 적분같은 걸 하면 거꾸로 semigroup이 나옴. 이것도 힘들면 infinitesimal generator가지고 resolvent를 구해내고, resolvent로 다시 semigroup을 구해내고 할 수도 있겠음.

[문과(118.220)]

근데 일단 처음에 구하고 싶던 결과(예를 들면 주어진 확률과정 X의 t시점 뒤의 기댓값)가 semigroup 구조를 가져야 이런 말이 의미가 있든가 말든가 할 텐데, 엥간히 좋은 과정(마르코프 과정, 펠러과정, 레비과정, 브라운과정) 들은 대충 이런 성질들을 가짐. 그리고 브라운 운동 비스무리 한 것들은 infinitesimal generator가 아주 예쁘게 구해짐. 대표적으로 1차원 브라운 운동의 infinitesimal genrator는 공간변수로 두번 미분하고 2로 나눈거임. 흔히 브라운 운동이 heat kernel을 가지니 어쩌니 하는데, infinitesimal generator가 대충 시간에 대해 미분한다고 흐린 눈 하고 보면 마치 parabolic equation처럼 보일거임.

[문과(118.220)]

보통 좀 좋은 확률과정(예를 들면 ito-diffusion)은 infinitesimal generator L은 공간변수로 1계편미분 연산자 선형결합이랑 (대칭이 되도록) 2계편미분 연산자 선형결합 꼴로 나옴. 아무튼 대충 미분같은 녀석이라고 생각하면 느낌이 오겠지만, infinitesimal generator는 유계연산자가 아니라서 이 연산자를 유계연산자로 근사하는 Yosida approximation도 존재함. 근데 만약에 확률과정에 jump가 나타나게 되면 infinitesimal generator는 아주 더러워짐. 이쪽은 Levy Khinchine formula 같은거 보면 됨.

[익명(39.114)]

ㄷㄷ 문과 출신임?

[익명(223.62)]

닉값못하시게 ㅎㄷㄷ하네요 감사합니다!