[시리즈] 연재) 0. 복소다양체 그거 왜함?
· 연재) 0. 복소다양체 그거 왜함? 하면 뭘함?

랩미팅이 개같이 멸망했으니 전에 썼던 글이나 이어서 써봄


1-1) 그래서 holomorphic이 뭐임?


사실 holomorphic은 복소미분가능으로 정의를 하지만 우리한테 좀 더 익숙한 동치 정의는 Cauchy Riemann equation를 만족하는 함수인건 모두가 동의할거라고 생각함

이제 이걸 좀 더 기하학적으로 보기 위해 C를 실수 벡터공간 R^2로 취급하고 싶은데 그럼 i=sqrt(-1)이라는 녀석을 고려해야되잖슴

근데 i를 곱해주는 연산이 R-linear인 C의 endomorphism(그니까 C에서 C로가는 R-linear map)이고 저걸 두번 곱하면 -1이니까 저걸 I^2=-id_C인 End_R(C)의 원소로 생각을 할 수 있겠지

I를 좌표별로 나타내보자면 C의 R-basis를 u,v라고 뒀을때 Iu=v, Iv=-u로 정의하고 R-linearity를 이용해서 확장한 R-linear map이라고 생각하면 될 듯


이렇게 하고나면 (R-벡터공간) C 위에 (스칼라) C action을 다음과 같이 줄 수 있음

(a+bi)w=av+bIw (a,b는 실수, w는 R^2의 원소)  (*)


이제 holomorphic function이 뭔지를 tangent space에 complex structure가 어떻게 작용하는지를 통해 살펴봅시다

f가 복소변수에 복소값을 갖는 함수니까 위에 말했던걸 적용하면 f:R^2->R^2로 볼 수 있을거고 그럼 저기서 나오는 tangent map at p 또한 df_p:T_pR^2(=R^2)->T_f(p)R^2(=R^2)로 생각할 수 있을거임


그러면 저 함수를 어떻게 쓰냐의 문제로 돌아오는데 그걸 위해서 C의 좌표 z=x+iy를 생각합시다

그러면 T_pR^2는 d/dx랑 ∂/∂y로 span되는 2차원 R-벡터공간이고 i를 곱해 주는게 복소평면에서 90도 돌리는거니까 complex structure를

I(∂/∂x)=∂/∂y, I(∂/∂y)=-∂/∂x

로 주는게 자연스럽지 ㅇㅇ

이제 df라는 녀석을 직접 계산하기 위해 f(x,y)=g(x,y)+ih(x,y)라고 하면

df(∂/∂x)=(∂g/∂x)∂/∂x+(∂h/∂x)∂/∂y,
df(∂/∂y)=(∂g/∂y)∂/∂x+(∂h/∂y)∂/∂y

가 되는데 이건 기본적인 미분기하 혹은 미분다양체 이론니까 받아들이고 갑시다

사실 가장 쉽게 생각하면 걍 chain rule임

이러고 나서는 complex structure I를 df랑 합성하면 뭔 일이 일어나는지 볼거임
먼저 df•I를 생각하면

df(I(∂/∂x))=df(∂/∂y)=(∂g/∂y)∂/∂x+(∂h/∂y)∂/∂y
df(I(∂/∂y))=df(-∂/∂x)=-(∂g/∂x)∂/∂x-(∂h/∂x)∂/∂y,

가 되고 마찬가지로 I•df를 생각하면

I(df(∂/∂x))=(∂g/∂x)I(∂/∂x)+(∂h/∂x)I(∂/∂y)
=-(∂h/∂x)∂/∂x+(∂g/∂x)∂/∂y,
I(df(∂/∂y))=(∂g/∂y)I(∂/∂x)+(∂/∂y)I(∂/∂y)
=-(∂h/∂y)∂/∂x+(∂g/∂y)∂/∂y

가 되겠지

그러면 이제 Cachy Riemann equation이 말해주는게 뭐냐면 df•I=I•df가 되는거고 좀 더 예쁘게 표현하면 df가 (*)로 주어진 C action에 의해 C linear라는거임


결국 요약하면 f라는 함수가 holomorphic이라는건 tangent plane에 유도된 df가 complex structure랑 아다리가 잘 맞는거로 볼수 있고 이 정의는 이제 변수 갯수랑 무관하니까 다변수인 경우에도 똑같이 holomorphic function을 정의하면 됨

즉 f:C^m->C^n이 holomorphic이라는건 각 점에서 tangent space를 R-벡터공간으로 생각했을때 미분사상 df:R^2n->R^2m가 일변수에서랑 똑같이 정의된 complex structure I들이랑 compatible한걸로 정의를 하는거지

근데 결국 그럴싸한 정의를 쓰긴 했지만 잘 생각해보면 각 변수들에 대해 Cauchy Riemann equation을 만족하는거라는걸 알 수 있음

그럼 ㅅㅂ 시작부터 이렇게 하지 왤케 이상한걸 하고 자빠졌냐고 물을 수 있는데 아래서도 다시 언급하겠지만 complex structure라는게 생각보다 나중에 꽤나 쓰여서 그렇읍니다...


뭐 어쨌든 정의를 합리화 하는데 한세월이 걸렸으니 기본적인 성질들을 후닥닥 살펴봅시다



1-2) 그럼 holomorphic인건 어케 체크함?


기본적으로 일변수의 holomorphic function들에 관해서는 우리가 많은것들을 알고 있는데 더하기 곱하기 합성에 대해서 보존된다거나 하는건 by def로 명백하니까 믿읍시다

그럼 일변수에서 holomorphic인지를 어케 체크했는지 기억해봅시다

Theorem 1.1) U가 C의 open subset이고 f:U->C를 함수라 하면 다음은 모두 동치이다
a) f가 holomorphic이다
b) 임의의 U안의 p에 대해 f는 p 근처에서 멱급수 전개를 가진다
c) f가 Cauchy integral formula를 만족한다. 즉, z가 U에 포함되고 C가 z를 둘러싸고 U에 포함되는 loop라고 하면 다음 등식을 만족한다.


이거 증명은 아리까리할수 있어도 이런 정리가 있는줄 모르는건 ㄹㅇ 학부 복소시간에 쳐잤다는거니까 어디가서 머리를 박고 있으면 되고 이 정리에 관한 설명은 생략하겠음

근데 학부에서 배울땐 생각을 못했던 문제가 이제 하나 등장하는데 dw가 도대체 뭐임?

학부에서 배울땐 그냥 저 적분을 선적분으로 이해했는데 이 글애서 한걸 생각하면 C를 R^2로 봤잖어

근데 R^2에 있는 differential form은 dx랑 dy밖에 모른단말이지
그럼 dw(혹은 dz)가 뭔데 야발이 되는거고


여기서부터 (개인적인) 헬게이트가 열리는데 저걸 정의하기 위해서 real tangent space T_pR^2에 C를 텐서곱해주고 그걸 (T_pR^2)_C라고 하겠읍니다

그리고 R 벡터공간에 C를 텐서곱하는걸 간단하게 complexify한다고 발할거임
(_나 ^라고 쓰면 그지같긴 하지만 알아서 sub/super로 뇌내변환 해주십쇼)

갑자기 텐서가 뭔데 씹덕새끼야라고 할수도 있지만 쉽게 생각해서 basis인 d/dx랑 d/dy는 그대로 놔두는 대신 거기 곱해지는 스칼라를 실수에서 복소수로 놔두는거임


그러면 자연스럽게 주화입마가 와서

I가 R^2의 complex structrue라매
=> 근데 R^2가 C^2가 됐넹
=> C^2엔 저 I말고 자연스러운 C-action, 그니까 걍 스칼라로 곱해주는거도 있지 않나?
=> 뭐야 그럼 벡터공간 하나에 C-action이 두개야?
=> ??????????

이렇게 된단 말이지
내가 이거때매 이 주제 관련 발표할때마다 법규를 쳐먹었기땜시 여기선 조금이라도 더 자세히 설명하려고 똥꼬쇼를 하고 있음


결론부터 말하자면 C-action이 실제로 두개가 맞고 그거때매 뭔가 대가리가 아파짐

근데 이건 이쪽 하려면 어쩔수 없는거니까 일단 익숙해지고 갑시다.


쨌든 T_pR^2를 complexify하고 났으니 그거의 dual인 cotangent space T_p^*R^2도 complexify를 해줄수가 있읍니다
이렇게 complexify한 자식의 C-basis는 명백하게 dx랑 dy가 될거 잖어 (그냥 스칼라만 R에서 C로 바꿨으니까)

그럼 이제 다음과 같은걸 정의합시다

이젠 스칼라가 C니까 저런 정의가 말이되고 dz랑 d bar(z)가 (T_p^*R^2)_C의 C-basis가 된다는것도 알 수 있음

그리고 좀 더 중요한 사실로는 (T_pR^2)_C의 I로 주어지는 C-action에 대해 dz는 C-linear이고 d bar(z)는 C-antilinear인데 이건 진짜 쉬우니까 직접 체크를 해보십쇼


저러면 이제 Cauchy integral formula가 실제로 1-form을 1-cycle C 위에서 적분하는거니까 스칼라가 C긴 하지만 manifold theory에서 배운걸로 이해를 할 수 있지

그리고 덤으로 dual에서 원소 두개를 정했으니까 거기에 대응되는걸 원래 벡터공간인 (T_pR^2)_C에서 저 basis들의 dual에 해당하는 놈들을 아래와 같이 찾을수 있음

저 미분들은 복소한다면 아마 죽을때까지 볼테니까 익숙해지면 좋을거임


쨌든 그럼 다변버전에서도 저런식으로 holomorphic을 기술할수 있는지 질문할 수 있는데 대답은 당연히 예스임

솔직히 저정도도 확장이 안되면 수학 왜함? 난 때려쳤을듯


그래서 다변버전 정리를 하기 전에 몇개만 소개하고 갑시다
Cauchy integral formula가 말하는게 결국 값을 구하고 싶은 점 근처의 원을 따라 적분하면 된다는건데 그럼 그 원이란 개념을 어떻게 다변수에서 고려할건지를 생각해야됨


이제 C^n의 원소 p=(p_1,...,p_n)를 고정을 합시다

그럼 이제 각각의 p_i마다 p_i를 포함하는 겁나 작은 closed disc D_i={z||z-p_i|<=epsilon}를 생각할 수 있고 그걸 다 곱한 C^n의 subset을 polydisc D라고 할거임

그리고 원래 Cauchy integral formula의 circle에 해당하는 polycircle ∂D=∂D_1×...×∂D_n은 n차원 manifold이니까 ∂D 위의 n-form을 적분하는게 말이 되지


그래서 1차원의 확장으로 다음 정리를 얻습니다

Theorem 1.2) U가 C^n의 open subset이고 f:U->C를 함수라하면 다음이 동치이다
a) f가 holomorphic이다
b) 임의의 U 안의 점 p에 대해 f는 p 근처에서 멱급수전개를 가진다
c) f가 Cauchy integral formula를 만족한다. 즉, 임의의 U 안의 점 p와 이를 포함하고 U에 포함되는 polydisc D에 대해 다음 등식을 만족한다


증명의 개략) c)에서 b)로 가는건 일변수에서랑 마찬가지로 멱급수전개하고 싶은 점 p=(p_1,...,p_n)을 고정하고 나서 그 근처의 z에 대해 Cauchy integral을 쓴 다음 열심히 분수파트의 분모를 w_i-z_i=(w_i-p_i)-(z_i-p_i) 쪼개서 등비급수로 바꾸면 됨

b)에서 a)로 가는건 명백한게 다항함수의 미분은 명백하게 C-linear니까 그것들의 극한도 당연히 C-linear, 즉 holomorphic일거임

a)에서 c)로 가는것도 사실상 별거 아닌게 Stokes 정리덕분에 p와 충분히 가까운 polycircle로 적분영역을 옮길 수 있고 (사실 이게 가장 테크니컬함) 각 i번째 변수에 대해 w_i=z_i+r_i exp(iθ_i)로 쓰고 r_i를 0으로 보내면 결과를 얻을 수 있음 □



1-3) 그래서 holomorphic이면 뭐가 좋음?


이제 일변수에서 먹히던 Cauchy integral formula가 다변수에서도 통하니까 일변수 정리들 중 저거의 따름정리로 나오던 것들은 다변수에서도 다 성립을 할거임

몇개 예시를 들건데 증명은 일변수랑 같으니까 다 생략하겠읍니다


Theorem 1.3) (Maximum principle) f가 C^n의 open subset U에서 C로 가는 holomorphic 함수라 하자. 만약 |f|가 U의 점 p에서 극댓값을 가지면 f는 상수함수이다.

Theorem 1.4) (Analytic continuation) U가 C^n의 connected open subset이고 f:U->C가 holomorphic function이라 하자. 만약 U의 open subset에서 f=0이면 f는 U 전체에서 0이다.

Theorem 1.5) (Riemann extension theorem) U가 C^n의 open subset이고 f:U\{z_1=0}->C가 holomorphic function이라 하자. 만약 f가 U에서 locally bounded이면 f는 U 전체에서 정의된 holomorphic function으로 확장될 수 있다.


딴것들도 중요하지만 1.5가 무슨 의미인지 생각해봅시다
{z_1=0}이 C^n의 (complex) comdimension이 1인 subspace인걸 생각해보면 1.5가 말해주는건 codimension 1에서 정의 안되는 holomorphic function을 확장할땐 locally bounded라는 조건이 필요하는거지

그리고 codimension 1에서 정의가 안된다는건 일변수에선 당연한거임

C가 1차원이니까 codimension이 2차원 이상이면 당연히 공집합일거 아녀


근데 문제는 우리가 차원을 올렸다는데서 생기는거지
우리는 이제 2차원 이상의 공간도 다룰건데 그런경우엔 codimension이 2 이상이 될 수 있잖어 ㅇㅇ

그럼 f가 codimension 2 이상인곳에서만 정의가 안됐을땐 확장이 언제 가능할까라고 질문을 할 수 있고 여기서 대머리같은 결과를 얻음


Theorem 1.6) (Hartog extension theorem) U가 C^n의 open subset이고 f:U\{z_1=z_2=0}->C가 holomorphic이라 하면 f는 "항상" U 전체로 확장될 수 있다.


ㅆㅂ 이게 말이 되냐 싶긴 한데 놀랍게도 됩니다

이게 일변수 복소랑 다변수 복소의 가장 기초적인 차이를 이끌어내는 부분이라고 위키에도 적혀있고 은퇴하신 우리학교 교수님께서도 말씀하셨다 이거야


여기서 TMI로 빠지자면 저게 대수기하에서 뭔가 ㅈ됐다 싶으면 blowup을 하는 가장 기초적인 이유라고도 볼 수 있음

blowup이라는게 결국 manifold/variety X에서 codimension r (r>1) submfld/var Z를 빼고 거기에 Z의 P^(r-1)-bundle을 갖다 붙이는건데 codimension 2 이상인 놈을 뺐으니까 holomorphic function들의 공간이 저 빌어먹을 정리때매 거의 같아짐 ㅇㅇ

그래서 저희는 일단 뭔가 있으면 터뜨리거나 저걸 거꾸로해서 쭈그러뜨리고 보는것 같습니다...


쨌든 저런 말도 안되는 정리를 얻으려면 증명이 뭔가 복잡한게 필요하지 않을까 싶긴 한데 생각보단 간단함

지금 대학원 와서 뼈저리게 느끼는건데 기하할때 테크니컬한것도 중요하지만 기하학적인 직관도 중요하다고 주인님한테도 개뚜드려맞고 있기때매 그림을 그려서 설명을 시도해보겠읍니다

근데 내 주변에서 가장 개고수였던 동기도 증명은 이해했는데 내가 그린 그림은 서렌쳤기때매 이해 못할수 있긴 함 ㅎㅎ

증명의 개략) Riemann ext'n thm의 증명을 알면 다들 생각할 수 있겠지만 확장된 함수는 당연히 원래 f의 Cauchy integral formula를 정의할거임 ㅇㅇ

일단 저 정리같은 경우는 정확히 codimension이 2에서 정의가 안되는 케이스니까 n=2라고 가정하겠읍니다

그리고 analytic continuation땜시 local하게만 정의해도 될거임


이걸 이제 간추려서 쓰면 D=D_1×D_2 in C^2이고 (D_1, D_2는 0이 중심인 disc) f는 D\{(0,0)}에서 정의된 holomorphic함수임
그럼 g:D->C를 다음과 같이 정의합시다


일단 그럼 f가 적분영역 위에서 잘 정의가 되니까 저 적분이 의미가 있고 저 자식이 holomorphic인것도 알수 있음

(해석학 열심히 했을테니까 우변을 ∂/∂ bar(z)할때 적분이랑 순서 잘 바꿀수 있다는건 체크하면 되고 피적분함수들이 전부 holomorphic이니 저걸로 저 미분값이 0, 즉 holomorphic임)

그래서 우리는 D 전체에서 정의된 holomorphic한 함수 g를 얻었고 보여야될건 저게 D\{(0,0)}에서 f랑 같은것만 보이면 끝남
저걸 하기 위해서 C^2안의 real dimension 3인 submanifold를 잡을건데 이걸 그림으로 약을 팔거임


이제 (0,0)이 아닌 (p,q) in D를 고정합시다 이제 Cauchy integral formula가 말해주는게 (p,q)를 중심으로 하는 충분히 작은 polycircle D'에서 저 오른쪽 함수를 적분하면 원래함수값이 나온다는거잖어

근데 이제 circle이 뭔지 생각해보면 R^2안의 S^1인데 지금 우리가 그려야되는건 C^2=R^4니까 저렇게 그리기 힘들단 말이지
물론 님들이 기하학 좆고수면 걍 4차원 생각하면 되는데 난 그런거 못함;

그래서 C를 그냥 직선으로 그리고 C 안의 circle은 두 점(=S^0)으로 그릴겁니다

그러면 polycircle들은 두점이랑 두점의 곱집합이라서 주어진 점을 중심으로 갖는 직사각형의 꼭짓점처럼 나타날거임

그럼 이제 D랑 D'랑 (p,q)를 그리면 아래 그림처럼 될거임

진짜 내가봐도 개ㅈ같이 그리긴 했는데 일단 설명을 시도는 해봄;

빨간 점이 원래 g를 정의한 polycircle ∂D이고 파란색 점이 (p,q) 근처의 작은 polycircle ∂D'임 그러면 저거 두개를 linear하게 보라색처럼 이어줄수 있을거고 그게 real 3차원 manifold M이 될거란 말이지?

근데 우리한테 문제가 되는 점은 (0,0)이니까 만약 그냥 linear하게 이었을때 저게 (0,0)을 지난다면 저걸 살짝 흔들어서 (0,0)을 안 지나게 할 수 있을거란 말야

왜냐면 두 polycircle을 잇는 점들이 한쪽 좌표는 0이어도 반대쪽 좌표거 0이 아니면 (0,0)은 안지날테니까 ㅇㅇ


그래서 우린 3차원 manifold M을 만들었고 점마는 ∂M=∂D'-∂D일거란 말이지

근데 M이 원점을 포함 안하도록 잡았으니까 피적분 form ω는 M에서 잘 정의가 되고 f가 holomorphic이라서 dω=0임 (이건 걍 계산을 해보면 되는데 직접 체크해보고 믿읍시다)

그러면 결국 Stokes정리가 말해주는게 ω를 ∂D에서 적분하나 ∂D'에서 적분하나 같다는거고 이걸로 증명을 마칠수 있겠지

왜냐면 첫번째 적분은 g의 정의고 두번째 적분이 f(p,q)인게 Cauchy integral formula니까 ㅇㅇ □

그래서 기본적인 다변복소해석내용은 끝남


1-4) 마지막으로 학부 일변수에서 (아마) 안 다뤘을 pde


이것만 쓰고 이번 연재글은 마치겠읍니다

이것도 사실 위의 것들이랑 비스무리하게 증명하는거긴 한데 나중에 sheaf cohomology라는걸 배울때 가장 근본이 되는 내용이라 언급을 하겠읍니다

1-2의 내용 중에서 ∂/∂ bar(z)같은 이상한걸 정의를 했는데 얘가 중요한게 결국 임마를 작용했을때 죽는 함수가 holomorphic이라는 거잖아?

그럼 이게 어떤 의미로 얼마나 holomorphic인지 obstruction을 재주는 differential operator라는거니까 저 operator로 나오는 미방은 뭔가 좀 쓸데가 있을것 같잖아

그러면 그런 미방이 항상 풀리느냐을 질문할수 있고 이거에 대한 대답이 다음 정리입니다


Theorem 1.7) f가 C 위의 open subset에서 정의된 C^k급 함수라고 하자. 그럼 C^k급인 g가 존재해서 다음 미분방정식을 local하게 만족한다.

이것도 증명이 있긴 한데 결국 위에것들이랑 비슷하게 함수 g를 직접 구성하고 저게 저 방정식을 만족시킨다는거라서 걍 g만 제시하는걸로 증명은 퉁치겠음

솔직히 저거 증명 걍 변수변환한다음에 해석학 줜나 쓰는건데 이글을 여기까지 열심히 읽을 정도면 나보단 해석 잘할테니...

진짜 궁금하면 전에 언급했던 Hodge theory vol 1에서 챕터 1 마지막부분을 보셈

어차피 이 글은 저 책에서 저 1챕터를 한국말로 풀어쓴거라 사실 이거 안읽고 저 책만 봐도 되긴 함 ㅎㅎ


증명의 개략) local하게 풀린다고 했으니까 f가 compact support를 가진다고 가정하고 g를 다음과 같이 정의하면 됨

□


n줄 요약)

1. holomorphic은 미분이랑 complex structure랑 잘 아다리가 들어맞는 함수이고 따라서 다변수로 자연스럽게 확장됨

2. holomorphic인지 체크하는것도 일변수에서랑 완전히 똑같고 따라서 일변수에서 Cauchy integral formula로 증명되는건 거의 다 다변수에서도 성립함

3. 근데 다변수에서만 되는것들도 있는데 그게 Hartog extension임

4. dbar equation은 local하게 풀리는데 나중에 중요하게 쓰이니까 잘 모르겠어도 일단 믿어라

5. 덤으로 complex structure I랑 벡터공간을 complexify하는거는 익숙해지면 좋을듯
(=안 익숙해지면 나중에 아마 ㅈ뺑이치다 ㅈㅈ칠거임)



ㅅㅂ 어떻게든 연재글 썼다 으으으으
폰으로 쓰니까 tex 이미지 불러오는것도 안돼서 걍 손으로 노가다했네;
분량 보면 알겠지만 다음화가 언제 찾아올진 저도 모릅니다 ㅎㅎ
이제 난 씻고 자러감 ㅅㅅ

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