x,y 가 Q위의 임의의 rational functions 일때
f(x(k),y(k))=0이게 하는 f가 Q[s,t] 안에 존재함을 보여라 이게 문제인데
나는 주어진 커브를 잘 매개화하는 문제라고 생각해서 완전 틀리게 푼거같음 어케품 이거 x랑y를 뭔가 근이랑 identify시켜야할거같은디
f(x(k),y(k))=0이게 하는 f가 Q[s,t] 안에 존재함을 보여라 이게 문제인데
나는 주어진 커브를 잘 매개화하는 문제라고 생각해서 완전 틀리게 푼거같음 어케품 이거 x랑y를 뭔가 근이랑 identify시켜야할거같은디
문제가 뭔 소린지 모르겠네 ㅋㅋㅋㅋㅋ
for every x,y in Q(k), show there exists f(s,t) in Q[s,t] such that f(x(k),y(k))=0
(물론 문제에서 요구하는 f는 nonzero여야겠지) 자신은 없는데, tr. deg(Q(k)/Q)=1이니까 성립한다는 걸 잘 풀어내면 되지 않을까?
아 non zero라는 말 교수님이빼먹은거같은데 걍 그걸로 쓸껄 여튼 고민해봄
x=A(k)/C(k), y=B(k)/C(k) 라고 두고 (sC-A, tC-B) 에서 변수 k를 eliminate 하면 (Sylvester resultant를 계산한다던가, Groebner basis를 구한다던가) 원하는 s, t에 대한 다항식 f(s,t)가 나오는데, 이건 constructive한 방법이고 문제에서 요구하는거보다 쓸데없이 강력한 결과인데.
Q(k)가 Q(x)와 Q(y)의 finite extension field인 것을 이용해서 Q(x,y)가 Q(x) 위에서 finite extension인걸 보이고, y의 minimal polynomial에 등장하는 식의 계수 (= Q(x)의 원소)들에 적당한거 곱해서 통분해주면 x,y에 대한 다항방정식 나오긴 할 것 같은데?
서로 반대쪽을 곱해서 빼면당연한거 아닌가