[일반] 체비쇼프 프사이함수 빼기 세타 함수의 바운드값

[익명(39.7)]

프사이함수 - 세타함수가 O(x^1/2)임을 증명하라는데

이거 어케 증명함...?

Dimitris koukoulopoulos가 쓴 the distribution of prime numbers 연습문제 2.7임.

[응애포동이(imyu89)]

아 이거 식을 보니까 소수정리 ? 그거랑 연관있어 보이는데

[익명(125.176)]

x^{1/2}logx로 바운드 시키는건 아는데 x^{1/2}는 안될거같은데 어케 하라는건지 모르겠음

[응애포동이(imyu89)]

게이야 여기 사이트 들어가 봐봐
https://math.stackexchange.com/questions/1732977/showing-psix-thetaxo-sqrt-x-log-x-for-chebyshevs-function-psi
어떤
외국인이 올린 글인데 보면 도움이 될듯 ?

[익명(125.176)]

이건 아는 내용인데 x^{1/2]로 바운드시켜야함...

[응애포동이(imyu89)]

어차피 빅오 노테이션으로 쓰면 (x^1/2)/logx << x^1/2 로 보이는게 좋지 않을까 ㅇㅅㅇ??

[익명(125.176)]

엥 logx가 붙었는데 어케 보임 그걸. 분모에 붙는게 아님

[응애포동이(imyu89)]

잠만 갑자기 좋은 생각이남

[익명(77.103)]

그냥 저 링크에 있는 식에 의해서, |psi(x)-theta(x)| 는 (sqrt(x) 이하인 소수의 개수) * log x라는 사실을 얻으니까, sqrt(x) 이하인 소수의 개수를 그냥 sqrt(x)로 퉁치면 너무 러프하고, 소수정리 (또는 체비셰프 정리)에 의해서 (sqrt(x) 이하인 소수의 개수)는 O(sqrt(x) / log x)니까 O(sqrt(x) / log x) * log x = O(sqrt(x))를 얻을수 있는거 아닌가.

[응애포동이(imyu89)]

게이야 찾았다
https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/ant/main3.pdf
여기
사이트 들어 가보면 pdf 파일로 볼수있음
Thm 3.2 쪽 을 한번 봐봐

[응애포동이(imyu89)]

힌트를 알려줄게 (x^1/2)•logx<< pi(x^1/2) •logx<<( x^1/2/logx^1/2) •logx<< x^1/2 하면 빅오가 x^1/2 로 나타낼수있음

[익명(125.176)]

오 ㄹㅈㄷ 고마워욤