초한귀납법 : (X,≤)가 정렬집합이고 p(x)가 명제함수라 하자. y<x인 모든 x,y∈X에 대하여 p(y)⇒p(x)이면 모든 x에 대하여 p(x)가 참이다.
S={x∈Xlp(x)가 거짓}, 즉 {x∈Xl~p(x)}라 하자.
S≠∅이라 가정하면 S⊆X이고 X는 정렬집합이므로 S는 최소원소가 존재한다. 이를 c라 하자.
이때
y<x ⇒ (p(y)⇒p(x))
⇔ (~p(x)⇒~p(y))
⇔ (x∈S⇒y∈S)
이다.
X에 S의 최소원소보다 작은 어떤 원소 a가 존재한다고 해보자. 그러면
a<c ⇒ (c∈S⇒a∈S)
이는 c가 S의 최소원소임에 모순이다. 따라서 S=∅, 즉 p(x)는 모든 x에 대해 참이다.
귀류법으로 S=∅임을 보인 것인데
'X에 S의 최소원소보다 작은 어떤 원소 a가 존재한다고 해보자' 이것도 가정 아님?
즉 저 증명과정은 'X에 S의 최소원소보다 작은 어떤 원소 a가 존재한다고 해보자'라는 가정에 대해 귀류법을 쓴 셈이 되는 거 아닌가?
그럼 이 가정이 모순이므로 결국 그런 원소 a가 없다. 즉 S의 최소원소가 곧 X의 최소원소이다. 이걸 보인 거 아닌가? 어떻게 바로 S=∅로 넘어가지
- dc official App
p(0)이 참이란게 조건에서 빠진거 같은데. 그냥 N에 대해서 생각해봐도 이게 빠진거같아
정렬집합 X는 걍 임의적이잖어 교과서 다시 봐도 걍 저게 끝인 것 같은데
X전체의 최소원소를 0이라 한건데 막말로 p(0)이 성립 안하는데 저 명제가 성립할리가 없잖음
"X에 S의 최소원소보다 작은 어떤 원소 a가 존재한다고 해보자"를 "S의 최소원소 보다 작은, X의 임의의 원소 a에 대하여"로 바꾸면 될 것 같네요. 그러면 P(0)은 조건에 의하여 공허한 참으로부터 얻어지네요.
아 그러면 저게 당연히 p(0)를 함의하는군 ㅇㅋ
( y<x인 모든 x,y∈X에 대하여 p(y))⇒p(x)
교과서에는 If for each x∈A, the hypothesis "p(y) is true for every y<x" implies that "p(x) is true", then p(x) is true for every x∈A라고 돼 있음 - dc App
p(0) 없어도됨
(공허한 참) --> p(0) <=> ~(공허한 참) or p(0) 를 보일 때 p(0) 를 보이게 되는 것 같음.