[일반] 선대 벡터공간 질문입니다.

[익명(121.160)]

R^2내의 직선상 모든점이 벡터 덧셈 및 스칼라 곱셈의 표준 연산 하에서 벡터공간이 될 필요충분 조건은 직선이 원점을 지나가는 것임을 보여라는 것인데,

벡터 공간 내의 모든 벡터는 0+kx (k는 스칼라)꼴로 나타낼 수 있어서 원점을 지나는 직선의 형태가 가능하다는 것으로 말하면 되나요? 

R^3도 마찬가지라는데, 같은 논지면 되나요

[익명(1.240)]

논리가 좀 부족한 거 같은데? 더 자세히 써보셈

[익명(223.39)]

아마 그게 가능하면 질문도 안할걸. Who is it that can tell me what I dont know?

[익명(121.160)]

=> 증명은 벡터 공간의 모든 벡터x 들은 0+kx (k는 스칼라)꼴로 만들 수 있기에 원점을 지나는 직선형태가 되고, <= 방향 증명은 원점을 지나는 집합 S의 임의의 kx에 대해, 스칼라 t배한 tkx도 원점을 지나니 tkx in S, 그리고 S의 임의의 두원서 tx, kx에 대해 (t+k)x도 S의 원소가 되니, 덧셈과 스칼라배 연산을 S가 만족하므로 S가 벡터공간임을 확인할 수 있다는 논지로 가면 될까요?

[익명(1.240)]

<- 방향은 정확한데 -> 방향 논리가 아직 애매함. 직선이라는 조건을 하나도 안 썼는데? 직선이 벡터공간이면 원점을 지난다는 걸 보여야 함

[익명(121.160)]

벡터공간의 임의의 벡터들은 kx+0꼴로 표현될 수 있는데 kx+0은 원점을 지나는 직선의 형태인거잖아요. 기준점 +(스칼라)*(방향벡터)형태인데 기준점이 원점이구요

[익명(1.240)]

아니 그니까.. 예를 들어 평면에서 직선 y=x+1이 왜 벡터공간이 못 되나? 라는 질문에 답해야 하는 상황임. 네 논리로는 이게 설명이 안 되잖아

[익명(121.160)]

그전에 벡터 공간 내 임의의 직선 kx+x_0에 대해, 벡터공간은 방향벡터가 0벡터인 직선 0+x_0도 벡터공간의 원소일테고, 벡터 공간은 스칼라곱에 닫혀 있으니 -1배한 것도 벡터 공간의 원소가 될 것이므로 -0-x_0도 벡터 공간의 원소일 것입니다. 그리고 벡터 공간은 원소끼리의 벡터 덧셈에 의해 닫혀 있으니 (kx+x_0)+(-0-x_0)도 벡터 공간의 원소일테고 이는 벡터공간의 공리에 의해 kx+0의 형태가 되고 이는 원점을 지나는 직선형태가 됨을 보일 수 있다는 논지로 가면 충분한 논증일까요?

[익명(1.240)]

일단 괜찮기는 한데, 그냥 벡터공간은 영벡터를 포함해야 하므로 직선이 벡터공간이 되려면 0을 포함해야 한다고 쓰면 더 간단하겠지