[일반] 수잘갤형님들 연산법칙증명 질문드립니다

[익명(222.236)]

흔히들 교환법칙 결합법칙 분배법칙하면 a b c 세 수에대해서만 정의내려지고 그 세수의 정의에서의 성질 즉 교환은 두 이항연산에서 항의 순서를 바꿔도 상관없다와 결합은 연산의순서를 바꾸어도 상관없다 등등이 분배법칙 포함 n개의 수에대해서도 그 성질이 똑같이 성립되게 확장됨을 어떻게 증명하나요? 이런 키워드는 인터넷에 뭘로 서칭해야할지도 잘 모르겠네요 ..

[익명(222.236)]

글쓴인데 하나더.. 저희는 세수에대해서만 배웠는데 어떻게 증명없이 자연스럽게 n.개의수에대해서도 성질을 당연하게 확장해서 받아들이고 쓸 수 있는걸까요? 단순 교육적암기의효과인건가요?,,

[익명(175.223)]

사실 수학적 귀납법을 쓰면 n개의 경우에도 증명이 됨. 근데 항상 하나하나 귀납법을 써가며 증명하는 게 논점도 아니고 번거로울 수 있으니 암묵적으로 그 정도는 증명없이 쓰는 경우가 있음 물론 다 써도 당연히 더 좋지않은 증명이다 같은 건 섣부른 판단이고 어느 걸 택해도 상관은 없음

[익명(222.236)]

그걸 증명하는건 어떤과목에서 배우나요? 찾고싶은데 뭐라 검색해야할질 몰르겠어요 ㅠㅠ

[익명(211.210)]

그냥 귀납법을 열심히 쓰면 되긴 함 Lang 맨 앞부분에 몇 개 맛보기로 있던거 같은데

[익명(27.173)]

이걸 당연하게 여길 수 있는 건 유치원 초등학생 시절에 교사가 과일 그림도 그려보고 손가락 셈도 시켜보면서 당연한 것으로 인식하도록 유도했기 때문임 그래서 초등 교육이 중요한거

[익명(222.236)]

답변 감사드립니다... 대부분의 사람들은 세뇌당한사람들이고 수학과나 수잘갤형님들은 그 세뇌를 분석하고 깨버리는 멋있는분들이란 환상이 생기네요... 세뇌당한건 알지만 깨는과정은 어려욵거같습니다... 공대생들은 세뇌된게 더욱심하구요..저포함...

[익명(182.31)]

가만보면 이항연산이 잘 정의되어 있다는(닫혀있다) 것은 공집합이 아닌 하나의 집합의 2개의 원소를 마치 1개의 원소로 보겠다는 거임. 그럼 자연스럽게 3개 4개 ... n개의 원소를 1개의 원소처럼 볼 수 있지 않을까? 라는 생각을 할 수 있음

[익명(182.31)]

물론 삼한연산 사항연산... 등을 새롭게 정의할 수도 있지만 매우 자연스럽게 정의할 수 있음. a1*a2*...*an=a1*(a2*...*an)으로 정의하는 거임. 아 물론 이렇게 정의하면 왼쪽부터 계산하냐 오른쪽 부터 하냐에 따라 달라지지 않을 때만 가능

[익명(182.31)]

다르지 않은 경우 우리는 이것을 "결합법칙"이라고 부름. 그래서 대수적 구조를 다루는 거의 모든 책들은 연산의 정의(이항연산의 정의) 다음에 바로 결합법칙을 다룸. 실수집합 같이 넓리 알려진 경우, 깔끔하게 정리하려고 순서를 바꾸기도 하는데, 원래 결합법칙이 먼저와야함. 위와 같이 귀납적으로 생각해 본다면 2개의 대상에서 성립하면 자연스럽게

[익명(182.31)]

임의의 자연수n의 갯수애 해당하는 경우에서도 성립함을 알 수 있음.(무한개는 안됨)

[익명(222.236)]

결합법칙이 2개의 대상에서 성립한다는게 이해가 잘 안가요 ㅠㅠ..

[익명(222.236)]

이거 증명 볼려면 구글에 뭐라 서칭해야되요? 영어로 쳐야만 나올거같은데...ㅠㅠ

[익명(182.31)]

그러니까 3개의 대상 a,b,c를 마치 하나의 원소인 것 마냥 다루고 싶어 이 때 (a*b)는 하나의 대상이니까(이항연산) 이것과 c를 이항연산하면 (a*b)*c 3개의 대상을 이항연산 2번으로 하나의 대상으로 인식할 수 있어 그런데 문제가 하나 있는데

[익명(182.31)]

a와 (b*c)를 이항 연산하면 어떨까? a*(b*c) 도 3개의 대상을 2번의 이항연산을 통해 하나의 대상으로 인식했는데 (a*b)*c 와 a*(b*c)는 같은 대상이라고 보장할 수 있을까? 만약 대답이 no라면 a*b*c 라는 기호는 사람에 따라서 다르게 받아들여지지 않을까?

[익명(182.31)]

이런 의미에서 많은 대수책들은 (a*b)*c=a*(b*c)인 경우만 다루겠다. 이러한 성질을 결합법칙이라고 부르겠다. 라고 시작해. 그럼 우리는 이항연산a*b만 정의를 했더라도 자연스럽게 삼항연산 a*b*c라는 것은

[익명(182.31)]

(a*b)*c 또는 a*(b*c)로서 이항연산을 2번 하면 되는구나. 라는 사실을 알게되고 사항연산은 결합법칙으로부터 이항연산을 3번,... n+1항연산은 결합법착으로 부터 이항연산을 n번 하면 되겠네. 라고 합의를 하는거지. 내가 원하는 (유한한) 자연수 만큼 말이야

[익명(182.31)]

이 다음에 의문으로 연산의 순서가 달라지더라도 같은 대상일까? 라는 의문을 할 수 있지. (a*b)*c와 (a*c)*b는 같을까? 더 나아가 a*b 와 b*a는 같을까? 이것을 교환법칙이라 부르고 군론을 배우기 전까지는 교환법칙이 전부 성립하는 대상들만 배울거야

[익명(222.236)]

그 이항연산을 n번하는것이 어떤 순서로 연산을 하던 그 결과가 왼쪽부터 오른쪽으로 쭊 순서대로 연산하는 방식을 스탠다드로 잡았을 때와 똒같다는 것이 이항연산에 대한 결합법칙으로부터 수학적귀납법으로 증명된다는 것이죠?.. 답변 감사드립니다!

[익명(182.31)]

그리고 애초의 본문에 대한 답은 '수학적 귀납법'을 검색하면 될거야. 1개의 대상과 그 다음대상이 성립하고, 어떤n번째 대상이 성립하면 자연스럽게 (n+1)번째 대상이 성립함을 다루거든. 물론 결합법칙은(유한한 항만 다루니까) 수학적귀납법이 아니야. 하지만 그 과정이 유사할거야

[익명(222.236)]

계속 한번씩 더 물어서 죄송합니다 ㅠㅠ 수학적귀납법이라 검색하면 너무 포괄적인 것들이 나오는데 직접적으로 n개의 연산에대한 순서의 모든 경우의 수가 스탠다드로 잡은것과 '수학적귀납법'과 유사한과정으로 똒같다는것이 증명되는 과정을 찾을려면 구체적으로 키워드를 뭐를 더 검색해야할까요?.. 제 수준에 안맞아서 안알려주시더라도 한번 구경은 해보고싶슴다.. ㅠㅠ

[익명(222.236)]

더 구체적으로는 정확히 어떤 과목에서 나오는 주제인가요?... 윗분말씀대로 lang pdf찾아서 보는데 저는 못찾겠어요 ㅠㅠ

[익명(182.31)]

수학적 귀납법은 자연수집합N의 부분집합S가 2가지의 성질을 만족하면 결과적으로 자연수집합과 같다(S=N) 을 수식으로 적은거고, 용어가 귀납 이들어가서 그렇지 실제로는 연역적 증명이야. 내가 뭐라고 말해줘도 해멜것 같은데 여기까지만 하고 다음 진도를 나가는 것을 추천할게

[익명(222.236)]

답변 감사합니다 선생님... 일단은 결합법칙의 형태를 보고 실제 계산에서 연산의 순서를 맘대로 해도 상관없다 결과는 똑같으니까 이것만 알고 넘어가도록 하겠습니다.. 선생님.. 수학공부할때 정신적자세는 어뜨케해야하는지 진짜 마지막으로 조언 하나만 구해도 될까요.. 다른건 안그러는데 특히 수학이 그런데 수학할때 물론 그 단계 그 수준에서 완전 엄밀하고 논리적이고 완벽할 수는 없다는걸 아는데 훗날 여기서 어물쩡하게 넘어간게 다른 부분을 공부하는데 발목잡진않을까 정신병이 있거든요 그래서 수준에 안맞게 자꾸 할려다보니까 진도도 느리고 그런데 발목잡히면 다시 와서 풀어볼려고 노력하지뭐 이런 자세로 적당히 넘어가는 식으로 공부해야 할까요? 중간을 찾기가 어렵습니다..ㅠㅠ

[익명(182.31)]

마지막 질문에 대한 답은 네가 목표가 뭐냐에 따라 달라. 나도 너랑 비슷한 생각을 가졌다가 몇 년을 그냥 날려먹었거든. 그럴필요 없었는데 말이야. 실제 역사적으로 수학자들은 수학을 엄밀히 0부터 쌓아올리자. 논리학의 하위 학문으로 만들자. 같은 것을 시도 했지만 실패했거든. 순환논법을 없애지도 못했고...

[익명(182.31)]

https://youtu.be/3smc7jbUPiE
폰
노이만의 왜? 라는 질문에 대한 본인의 생각을 말한 영상이야. 한 번 보는 것을 추천할게.
결론적으로 우리가 필요한 만큼만 엄밀히 증명하고 넘어가고...그러한 과정들이 후대에 이어져. 또 다른 의미를 낳을거야.
우리가 거인의 어깨에 올라가려 한 것 처럼. 그 정도만 되어도 멋진일이잖아

[익명(222.236)]

좋은 하루 되십셔 선생님 치기어린놈을 무시하지않고 끝까지 답변달아주셔서 감사힙니다!