아이디어는 대충
product topology에선 유한개의 open set으로 basis를 만드니깐, 임의의 x에 대한 open set sequence O_n이 각각 유한개의 open set들과 비가산무한히 많은 X_a들의 product로 basis를 가지고 있을거라고 생각함.
그럼 그 모든 O_n들이 가지는 그 open set들의 합집합이 있고, 전체 product가 비가산무한히 많으므로 그 합집합에 속하지 않는 어떤 open set을 항상 뽑을 수 있을거라고 생각함.
그럼 그 open set과 나머지 X_a들의 곱으로 만들어진 basis는 분명히 x의 neighborhood이긴 하지만 어떤 O_n도 거기에 속하지 않을거고 (open set u_alpha에 해당하는 그 X_alpha가 그 O_n들은 전부 X_alpha 로 product 했을테니)
따라서 first countable하지 않다
근데 표기부터가 좀 엉성하고... 괜찮을까 이거 문제없을까?
감은 잡은 것 같은데, 표기가 좀 그래.
f in X에서 countable local basis가 존재한다고 가정. Product topology니까, 이 basis의 각 원소들을, basic open set of X로 줄여도 되겠지. 이래도 여전히 local basis at f.
근데 표기 어떻게 써야할지 모르겠는레후;;
그럼 얘네를 하나 잡고, 각 component로 project하면 네 생각대로 proper open subset of I가 되는 indices는 finite개.
그런 indices를 local basis의 각 원소마다 생각하면, 기껏해야 countable개. 이게 무슨 뜻이냐? 어떤 index a에 대해서는, local basis의 element들을 X_a로 project 시켰을 때 전부 X_a가 나온다는 뜻.
근데 그러면, 그 index a에 대해, proper open subset of X_a=I를 잡고, (이걸 U라고 하자) U에 대한 (X_a로의) projection의 역상을 취하면, local basis의 원소 중에서 이 역상을 포함하는 건 있을 수가 없는데... 정의와 모순이지?
이렇게 쓰는게 훨씬 낫겠네 ㄱㅅㄱㅅ
그리고 네 표기를 보니까 어디의 open subset인지 명확하지 않은 부분이 보이는데, 위상공간 하나 잡고 거기서만 놀거면 별 혼동이 없겠지만, 지금처럼 여러 개가 나오는 상황에서는 어디서의 open인지 써주는 게 좋음.
20:08, 역상을 포함하는>>역상에 포함되는 수정.
아이디어는 대충 맞는데 풀이 서술이 많이 이상함. On이 product top을 갖는다는게 정확히 무슨 뜻임? The basis of each On은 무슨 뜻이고?
그게 나도 아이디어를 어떻게 글로 써야할지 모르겠어서 저렇게 엉망인거라
일단 잘 못하겠으면 한글로 쭉 쓰고 나중에 영어로 옮겨