[일반] 일반위상 공부하는 학부따리인데

[가우스나죽어(gaussimdie)]

결론적으로 위상 만드는 이유가 뭐임?

뭐 연속이나 극한 이런거 정의하는게 더 편해지긴 하지만

근본적으로 어떤 집합의 위상을 만드는 이유가 뭐야?

설마..”왜냐니..그야 재미있으니까지?” 이런거임?

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[가우스나죽어(gaussimdie)]

일단은 집합에 위상구조를 주면 꽤 편해지는 게 많다는 정도로 받아들이면 되나요? 일반위상수학 초중반공부하고 있어서… 답변 야맙습니다.. - dc App

[익명(182.31)]

일반위상 초반을 배울 때 아마 대부분의 책들은 보통위상공간에 대해서 다룰거임. 이는 실수의 성질을 배운다는 측면이 있지. 현대수학에서 '공간'이란 특별한 성질을 가지는 집합을 의미하고, 위상수학은 도형에서 시작했지만 집합이 만들어진 이후 도형뿐만 아니라 지금에 와서는 기초수학이 되었으니까

[익명(182.31)]

대수를 배울 때도 초반에는 익숙한 연산인 사칙연산(요즘에는 사칙계산이라고 한다더라)을 먼저 다루고 일반화 시키잖아. 보통위상에서는 실수집합의 성질로 부터 열린구간의 성질들을 정리한 것을 꺼꾸로, 열린집합의 성질을 만족하는 대상을 '위상공간'이라고 정의하고 이것들만 다루겠다. 라고 하고 있어

[익명(182.31)]

위상을 배운다는 것은 그 자체만으로도 실수의 일부분을 배운다는 의미가 있지. 마치 파라의 발톱의 때를 배우는 느낌으로. 보통위상을 떠나서 일반위상적 측면에서는 거리공간을 일반화시켜서 거리가 없는 집합에서 두 수학적 대상간의 연결/비연결, 멀고/가까움, 내부/외부/경계 등을 다루고 있어

[익명(182.31)]

원게시글 질문으로 돌아와서 어떤 집합에 '위상을 만드는 이유'는 위상에 따라서 위상적 성질이 달라지기 때문이야. 2,3이라는 수를 대수적 측면에서 +관점으로 보면 5로 보이지만 ×관점으로 보면 6이라고 보잖아. 위상이 달라지면 연결 되어있어보이던 것이 분리되어 보이기도 하고, 수렴하는 수열이 수렴하지 않기도 하고, 내부 외부가 달라지기도 하니까...

[익명(182.31)]

현대에 와서 '원'이라고 하면 2,000년전처럼 컴퍼스로 땅에 그리는 도형 이라고 하지않고, 한 평면위에 존재하는 한 점으로 부터 같은거리의 점들의 집합. 이라고 정의하잖아. 현대수학의 많은 부분들은 위상적으로 정의되어 있어. 그렇기에 위상이 달라지면 성질도 달리지고 이런 것들을 배우는거야

[카카오(73.103)]

좀 이상한 대답처럼 들릴수 있지만 위상수학을 공부하는 이유는 "연속함수"를 공부하고 나아가 homeomorphism에 대한 불변량을 공부하기 위함이에요. 우리는 위상구조를 먼저 배우고 그다음 연속함수를 배우지만, 학문이 발전하게된 순서는 그 반대에요. 때문에 위상을 주는 근본적인 이유는 '연속함수'라는 대상을 엄밀하게 정의하고 구체화 하기 위한 과정이라 생각해요.

[익명(14.36)]

실수나 복소수에서의 연속함수를 좀 더 일반적인 공간에서 정의하려면 얼마나 밑에서부터 시작해야 할까?? << 라는 생각에서 위상이 시작됐다고 생각함 다만 너무 아래에서 시작하고 추상적이다 보니 첨 배울 땐 이거 왜 배우냐는 생각 드는 것도 이해가 됨(위상 첨 배우는 사람 대부분 이런 생각 할 듯?)

[익명(118.235)]

아주 아주 느슨한 기하를 하려고 하는 거 아닌가

[가우스나죽어(gaussimdie)]

와… 다들 댓글 야맙습니다… - dc App

[건전여우(lustyfox2nd)]

내가 듣기로는 (이거도 학기초에 들은거라 좀 가물가물하긴 한데) 자기가 관심이 있는 어떤 공간에 대해서 분석하기 위해서 자기가 필요한 성질을 가진 위상을 부여하는거라고 들었음.