6번문제가 해석이 잘 안됩니다..

저는

위상공간 X가 컴팩트이기 위한 필요충분조건이
X의 한 basis B가 존재하여 B의 원소로 이루어진 X의 모든 open cover가 유한한 subcover를 갖는것임을
증명하라.

라고 해석했는데 이게 맞을까요?

그리고 문제에대한 직접적인 질문은 아니긴한데,
만약 제가 해석한대로가 맞다면 저기서 B가 존재한다는것보다 더 강하게
(<= 방향으로는 더 널널하게)
임의의 X의 basis B에 대하여 라고 수정해도 여전히 동치가 된다고 생각하는데 맞을까요?