그 단순히 '공역과 치역이 같은 함수' 를 의미하는 surjective가 아닌, '어떤 특정 집합 A에 대해서 Surjective 하다'와 같이 쓰이는 'Surjective onto set A' 라는 표현의 정의에 대한 질문입니다.
만약 'Surjective onto set A' 를 아래와 같이 하나의 명제만으로 정의하게 되면요,
"f is a surjective onto set A"
←→
∀y∈A, ∃x∈D(f) s.t. f(x)=y
이건 오류가 있는게 맞는거죠? 저 명제만으로 정의한다면, 예를 들어서 A={ 1, 2 } 일때도 f(x)=3x (단 D(f)=R) 이라는 함수 f에 대해서 저 명제를 참으로 만들어버리니까요..
그래서 제 생각에는 아래와 같이 두개의 명제로 정의해야 되는 것 같다는 생각이 들었습니다.
"f is a surjective onto set A"
←→
( ∀y∈A, ∃x∈D(f) s.t. f(x)=y )
and
( ∀x∈D(f), f(x)∈A )
이렇게 정의하면, 위의 경우에서와 달리 너무 작은 집합에 대해서 죄다 정의 명제를 참으로 만들어버리는 문제가 안생기는 것 같아서요.
(물론 set A가 f의 codomain 일 경우에는, 애초에 모든 x에 대해 이미 f(x)∈A 이라는건 이미 주어져 있는 셈이니까, 처음에 들었던 방식의, 한개의 명제만 쓰는 정의로도 오류없이 Surjective 라는 표현이 잘 정의됩니다.)
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그래서 결국 제 질문은, 어떤 집합 A에 대해서 'f is surjective onto set A' 가 참인지 아닌지를 증명하려면, 다시 말해서 'Range of f is set A' 가 참인지 아닌지를 증명하려면,
( ∀y∈A, ∃x∈D(f) s.t. f(x)=y )
( ∀x∈D(f), f(x)∈A )
이 두개의 명제를 각각 따로따로 전부 증명해야 하는게 맞는건지??? 입니다.
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질문 읽어주셔서 감사합니다!
네 맞긴 한데 두번째는 그냥 f의 range가 A안에 들어있다는 뜻 아닌가요? 함수의 정의에는 원래 domain과 codomain이 포함되어있어요
아 그리고 어디서 surjective on A이렇게 하면 첫번째 의미로도 썼던거 같아요
네네 근데 함수를 처음 정의할 때 치역을 바로 찾기가 어려워서 공역은 일단 무작정 큰 집합으로 잡아서 정의해둔 상황에서, 이후에 집합 A를 임의적으로 만들게(찾게) 되는 바람에, 그 집합 A에 대해서 ∀x∈D(f), f(x)∈A 가 참인지 여부를 바로 결론내리기 어려운 상황들도 마주쳐서요.
위로의 함수:
http://us.metamath.org/mpeuni/dffo2.html
ran F = B가 무슨 뜻일까요?ㅜㅜ 랜덤의 ran 인가요??
아 range(f)를 말하는거군요 그런데 range(f)=A를 증명하려면 결국 저 두개의 명제를 다 증명해야 하는거 아닌가요..?
ran f = B ↔ ran f ⊆ B ∧ B ⊆ ran f ↔ ∀x ∈ dom f f(x) ∈ B ∧ ∀y ∈ B ∃x ∈ dom f y = f(x)
제가 수식을 작성하는 동안 댓글을 달아 주셨군요. 'dom'은 정의역, 'ran'은 치역이 맞습니다.
다시 말해 글쓴이의 생각이 맞아요!
step 1 2 3 ... 8 은 무슨 말인지 이해가 안되지만 일단 결론은 맞는군요 다행이네요ㅜ 감사합니다 !!!!!!
dffo2의 증명은 신경 안 쓰셔도 돼요. 위로의 함수의 다섯 가지 정의가 서로 논리적으로 동등함을 보이는 내용이어서 그다지 중요하지 않아요.
너 수리논리 하는애인거 같은데 자꾸 이상한소리할래?
지금은 리눅스 공부하고 있는데. 근데 뭐가 이상한 소리인지 말해야 고치든 말든 하지. 뭐가 문제야?
'다섯 가지 정의'? 그냥 식 아주 조금씩 바꾼 것들에 불과해. 그래서 신경 쓰지 말라고 했어.