위상수학 질문드립니다.
The path components of X are path-connected disjoint subspaces of X, whose union is X, such that each nonempty path-connected subspace of X intersects only one of them.
증명. 우선, path component들은 equivalence classes이므로 disjoint이고, union은X이다.
A를 X의 path-connected subspace, C와 D를 각각 path component라고 하자. 그리고 C와 D는 각각 A와 x, y을 공통으로 가진다고 하자. 그러면 x, y는 A의 원소이므로 path in A f:[0, 1]->A가 존재한다. 이제 f의 range의 확장 f’:[0, 1]->X도 path(in X)이고 따라서 x~y이다. 즉 C=D이다.
이제 X의 path component C가 path-connected subspace of X임을 보이자. C의 원소p를 고정하고, x를 C의 임의의 원소라고 하자. 그러면 정의에 의해 path in X가 존재한다… 여기서 막히네요 이걸 path in C from p to x로 만들어야 할 거 같은데 어떻게 해야할까요? 도움주시면 감사하겠습니다.