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If then 너무어렵다 . If then 바껴도 몰랐을듯.
두개만 물을게.
1. 정의가 if then 으로 되어있잖아. 그럼 그 역은 성립안함?
예를들어 limf(x)=L. 이면 “저기if 문장들”. 이다. 이게 성립안함?
정의도 저렇게 따지는게 맞냐는 질문임
2. 저기 빨간박스 맨밑에. If then 바꿔쓰면 안되는 이유.
논리적 인과관계를 이해못하곗는데
정의역이 먼저오건 치역이 먼저오건 상관있냐는 질문임
난 꼬꼬마 미적하는애고
너희는 똑똑하니까 답해주겠지?
If then 너무어렵다 . If then 바껴도 몰랐을듯.
두개만 물을게.
1. 정의가 if then 으로 되어있잖아. 그럼 그 역은 성립안함?
예를들어 limf(x)=L. 이면 “저기if 문장들”. 이다. 이게 성립안함?
정의도 저렇게 따지는게 맞냐는 질문임
2. 저기 빨간박스 맨밑에. If then 바꿔쓰면 안되는 이유.
논리적 인과관계를 이해못하곗는데
정의역이 먼저오건 치역이 먼저오건 상관있냐는 질문임
난 꼬꼬마 미적하는애고
너희는 똑똑하니까 답해주겠지?
당연히 다르지... 양쪽 방향 다 되는 경우는 보통 if and only if 로 표현함
저기 역이 성립 안한다고?
if then이 두갠데, limf(x)=L => if 이하. 이게 되냐는 질문인 거면, 당연히 안 되는 게, 왼쪽이 lim이 정의가 안 됐자늠. 정의를 보고 있는데 역을 생각한다는 것 자체가 지금 넌센스
1번같은경우는 가능 저건 그냥 if뒤의 문장을 만족할때 저렇게 쓰자라는 일종의 약속이어서 만약 누군가 저렇게 썼다면 if뒤의 문장이다 라고 그냥 생각하면 됨 2번는 안됨 if랑 then 바꾸면 If |f(x)-L| < e then 0<|x-a|<d 이런식이란건데 모든 e에 대해서 저 왼쪽 부등식이 성립하려면 결국 f(x)=L이라는거고 그러면 f(x)=L인 어떤 작은 구간이 있어야된다는 소리잖아 ㅋㅋㅋ - dc App
예를 들면 상수함수 생각해보셈 f(x)=L이야 모든 x에 대해서 ㅇㅇ 그러면 모든 x가 다 모든 e에 대해 왼쪽 부등식을 만족함 그렇다고 우리가 오른쪽 부등식을 만족하는 델타를 찾을수있나? 없음 ㅇㅇ 그래서 if then 바꾸면 틀렸다기보단 그렇게 정의하게 되면 우리가 생각하는 극한을 표현할수가 없어 - dc App
그냥 영어가 부족해서 이해를 못하는거같은데, 나중에 논리기호로 표현하는법 배우고나면 명쾌해질거같음
If~ then 을 조건명제로 봐왔는데, 정의에 저렇게 쓰여있으면 뭘따라야되는지 혼란스러워. 정의는 논리적 동치잖어. 이렇게 질문하면서 알아가는듯
If - then we say - 이건 정의할때 쓰는 말임 앞으로 지겹도록 볼거다
일관성을 유지하며 엄격하게 말하면 정의에서 사용할 때도 if and only if로 적는 게 맞음. 다만 매번 이렇게 적기도 번거로우니 정의에 한해서만은 if 단일로 적는 관습이 있는 거임. 당연히 이것도 해석은 if and only if로 읽어주면 됨. 단, 다시 한 번 말하자면, 정의를 서술한 것만 적용되는 거임.
아니지. 엄밀하게는 if 로 정의를 하고 나면, 그렇게 정의된 좌변에 대해서 by the definition, iff 를 만족하는 거지. 비유적인 예를 들면, 주어진 B에 대해서 A:=B 라고 정의하자. 그러면 A = B 인 거. A가 정의되지 않은 상태에서 A=B 라고 쓰는 건 말이 안 되지.
뭘 아냐ㅋㅋㅋ.. "A에 binary operation이 주어져 있으면, A를 magma라 부른다"얘를 명제 논리에 맞춰서 엄격하게 하면 M이 magma라 해도 M에 binary operation이 주어져 있는지는 알 수 없지.
애초에 비유도 안 맞는데다가, "A={x in R | x>1}"이렇게 쓰면 A를 새로 정의하는 거고.
웨이드의 "해석학 입문" 4판 번역서의 머리말에 이런 말이 있어. "전통적인 서술 방식과 달리, 정의를 '필요충분조건(if and only if)'으로 명확하게 서술했다."
Fraleigh에도 엄격하게는 정의에서 또한 if and only if로 적는 것이 맞으나, 관습상 if로 적는다고 밝히고 있고.
정리하면 어짜피 '이러이러한 조건을 만족시키는 꼭 그 녀석들을 분류하고자 내리는' 정의는 모두 동치의 형식을 띄는데, 죄다 그렇게 해석할거면 종이와 잉크를 아끼고 문법적으로도 친숙하게 if라고만 적자는 게 (정의에서만 한정된) 관습이라는 뜻임.
이해했다. 정의할 땐 iff를 쓰는 게 맞네. 본문에서 역을 이야기해서 헷갈렸다. iff 자체를 생각하면 '그리고 동시에 오직 iff 이하~ 일때만' 인데, 본문에서 '역'이 맞냐 안 맞냐를 말하니까 정의되지 않은 개념을 if 절에 넣는 꼴이 돼서 그랬던 거였음. 처음부터 정의를 iff로 하는 건 다른 문제였는데 내가 잘못 이해했었음. 땡큐
그렇지 않음. We write - if - 만해도 충분함. Abuse of natural language 나 관습따위가 아니라. 이게 구분이 안되는건 그냥 영어의 언어로써의 한계인거지 정의할때 iff 만이 엄밀하게 맞다 그런 규칙은 없음.
A 라는 단어를 정의할때 A iff B 라고 적는건 니말대로 엄밀히 말하면 그냥 명제일 뿐이지 정의가 아님. 정의는 사실 Language 랑 Model theory 보다 한층 위의 그냥 메타언어 개념임.
얜 또 뭔소리냐ㅋㅋㅋ 엄밀하게 형식화하면 정의 또한 iff로 형식화되는데ㅋㅋ
정의 자체가 iff의 의미로서 사용되고 있으니 원칙대로면 iff를 쓰는 게 맞으나 관례상 if로 적는 거지, 뭘 iff로 적으면 정의가 아니라는 소리를 하고 있냐.
Dry하게 말하면 명제나 정의나 (일단 언어 하나 골라놓고) well-formed formula 중에서 sentence인 것일 뿐인데 뭐가 다름ㅋㅋ. 오히려 'X is A if X satisfies P' 이렇게 쓰면 X가 A라고 해서 P를 만족한다는 보장이 없다니까?
Ultraproduct 닉 달고다니는애가 language 랑 model theory는 안배웠냐? Language system 이 주어졌을때 Definition은 그 language system 안의 sentence 가 아님. 니가 말하는 X is A 라는 형식 자체가 영어라서 중첩된 의미가 있는거고
X is A 라는 영어 자체가 따로 명시를 안하면 X\inA, X=A 이렇게 여러가지 다른 의미로 쓰일 수 있는거임. 그래서 Language system 을 하나 정해서 기호로만 수학을 표시한다고 하면, 거기서 definition은 줄줄이 적기 귀찮으니까 language system 위에서 사는 우리가 abstraction 을 해서 쓰자 이런 메타적 약속임
동의 못하겠으면, language 하나랑 model 하나 니가 알아서 골라서 아무거나 definition 을 적어봐라 그게 되는지 ㅋㅋㅋ iff 는 정의가 아님
그래. 아주 엄밀하게 따지면 language고정할 때부터 정의가 들어가지. 근데 거기에 if를 씀? ㅋㅋㅋㅋㅋ function symbol, relation symbol, constant symbol에 interpretation을 주는데 등호 하나면 충분하지ㅋㅋ. 근데 사람들이 수학을 이렇게 하냐고. 당장 model theory라고 하면 "그게 뭐임?"
이러고 있을 사람들이 훨씬 많을텐데(수리논리 하는 사람들이 적으니...) 그런 상황에서 사람들이 정의할 때는 "G is a group if blabla..."가 있을 때 사람들이 이걸 iff의 의미로 쓰기를 원하지, 누가 if의 의미로 쓰고싶어 하는데?
일상언어적 측면에서도 "if"의 일관적인 용법을 위해서라면 "G is a group if blabla.."가 아니라 "G is a group if and only if blabla."가 더 정확하다고. 다만 정의마다 매번 길게 적기 번거로우니 "if"라고 적는 거지. 아무리 메타언어적 규약이라 해도 일상언어 위에서 돌아가는 거라는 점을 무시할 순 없잖아?
당연히 수리논리 밖의 범위에서 정의를 이런식으로 사용하지 않지. 근데 네가 '엄격하게 말하면 iff 로 적는게 맞다' 며. 근데 진짜 엄격하게 말하면 iff 든 if 든 language system 안에선 정의가 아니라는거 아니냐. 어차피 natural language 에 의존할 수 밖에 없다면 영어의 관습적인 표현으로는
We define A is B, if A satisfies C 라는 표현이나 We define A is B, iff A satisfies C 나 하등 다를게 없다는 말임. B 가 property 던 set이건. 근데 어차피 너도 느끼겠지만 이 논의는 수리논리 범위를 벗어난 의미론에 가까우니 나도 네가 틀렸고 내가 맞다고는 주장 못하겠는데,
내 의견을 피력하자면 정의에서 if 를 쓰든 iff 를 쓰든 크게 상관없다는 입장이다, 그정도임.
솔직히 내가 수학을, 수리논리 말고도 여러 분야를 공부하다 보니까 메타언어 대상언어적 측면에서 무뎌진 건 맞는 것 같음. 다만 지금 논하는 상황이 수학 공부하면서 계속 새로운 개념의 정의가 나오고, 새로운 함수의 정의가 나오는데 그 상황에서 새로운 기호를 추가할 때는 (conservative extension of a theory) iff로 도입하잖아.
근데 대화하다보니 수리논리 공부한 or 하는 사람을 잘 찾기 어려워서 그런가 너 자체에 대한 흥미가 생겼음. 넌 학부생? 대학원생? 아니면 포닥?
ㅇㅇ 그니까 그 iff 를 사용하는 것 자체를, 난 일종의 언어적 관습이라고 보는거임. 그게 논리적으로 정확해서 (애초에 모델 밖에 존재하는데) 가 아니라. 여기서 우리 관점이 다른부분이 아마 if 도 관습적으로 같은 의미를 가질 수 있음을 인정하냐 그건데 나는 그렇다고 보는거고 넌 아니겠지
난 phd candidate 인데 나도 수리논리 전공은아님 석사 타겟 mathematical logic 과목에 조교로 들어가긴 하는데 이분야 우리학교에서도 수학과는 거의 하는사람 없고 대부분 철학과소속임 형식논리하는애들이 같이함
한국에서는 이분야 하는사람 수학쪽은 거의 없다고 들었는데 어떻게 공부함? 수업은 열림?
일단 학부는 서울대인데, 여기도 전공 교수님 안 계셔서 연세대에서 열리는 모델론 수업 청강함ㅋㅋ (유명하신 분 한 분 계시니까) 나머지는 뭐, 독학과 스택익스체인지, 오버플로우와 함께 해야지ㅋㅋㅋ
넌 어느 쪽 전공 생각하고 있는데?
고생이 많구만 마이너한 분야 공부하고싶으면. 난 PDE 쪽임 그중에서도 Geometric analysis 위주로 연구함
마지막에 if 랑 then 띄어쓰기 한 부분(두번째 if then)을 제외하면 그건 그냥 영어문장으로 봐야할거 같은데
첫번째 if then 부분은 then 자체는 앞에 let으로 "~라고 하자. 그러면" 의 느낌으로 이어주는거 같음
정의니까 limf(x)=L 이면 "if 문장드"도 참임
미적분학 교재기도 하고 영어 교재라서 단순하게 이러지 않을까하고 내 생각써봤어 정의라는 거 자체가 일반적으로 생각해봤을때는 논리적 동치라는 걸 깔고 들어가니까
예를 들어 n is called even if n is divisible by 2라는 문장이 있다고 하면, 세상 모든 사람들은 여기 있는 if를 사실상 if and only if로 받아들임. 왜냐면 이건 정의거든. 근데 일반적으로도 이러냐? 당연히 아님. If x=1 then x^2=1이라는 문장은 x=1이면 x^2=1이라는 의미뿐이고 역은 당연히 거짓이지
그래서 1은 수학과 전혀 관계없는 언어적인 질문임. 그럼 2는 어떻냐? 저기서 if then의 양쪽을 바꿔쓰면 의미가 매우매우 달라짐. 그런데도 이런 질문을 했다는 건 네가 애초부터 극한 정의를 매우 대충 알고 있었다는 거임. 치역이 먼저냐 정의역이 먼저냐같은 단순한 문제가 아님
애들 너무 친절하네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 여기부터 이해 못해서 막히는 정도면 딱히 도와줘봤자 변하는 것도 없을텐데
사람들이 너무 친절함 ㅋㅋ 나라면 저 "난 꼬꼬마 미적하는애고 너희는 똑똑하니까 답해주겠지?"라는 문구가 띠꺼워서 그냥 쌩깠을듯