교과서 발췌. 저 증명은 사실 순환논리임.
얼핏보면 문제가없어보이지만,,
이부분이 문제임.
부채꼴의 넓이를 정의하기위해서
적분의 개념이 사용되고,
그 과정에서 sinx와 cosx의 적분을 시행해야하는데,
잘 알다시피 삼각함수의 미분과적분은 모두
lim x->0 sinx/x=1임을
알아야 가능함. 그래서 배우는순서가 저걸먼저배우잖아?
따라서 넓이로 보이는 증명은 순환논리가됨.
그러면 순환논리임에도불구하고 교과서에서는 왜 저 증명을
실었나?
교과서 저자중 한분에게 물어보니,
증명의아름다움을 느끼게하기위해서 넣었다고하심.
순환논리라고 고교에서못하니까그냥
"이런게 알려져있다"라 하기엔 너무너무아쉬워서 생긴결과엿음
- dc official App
아, 그렇네.... 그럼 부채꼴의 넓이 공식을 논증 기하학에서는 어떻게 증명하지? 증명할 수가 있긴 한가?
거의불가능. 넓이라는걸 논증기하학적으로 정의하기가 힘들지 - dc App
머지 초등학교안나왓냐
초등학교 수학 교과서에서는, 원의 넓이 공식을 이끌어 낼 때 극한의 개념이 쓰였었어. 원을 n개의 합동 부채꼴로 쪼개고 이를 서로 반대가 되는 방향으로 번갈아 이은 도형을 만들었지. 그런 뒤에 n이 한없이 커질 때 그 도형이 직사각형에 수렴함을 보였어. 당시에는 극한이 뭔지도 몰랐어.
@ㅇㅇ(211.36) 그게 순환논리지 비례성으로는 할수 있는데 디스크적의 비례상수를 정확히 구할수 없는데 결국 돌아돌아 삼각함수 극한을 사용한건데
n-ball volumn integration 없이 geometrically 도출해낼수있는걸로 아는데 아니었나
뭐 Volumn 을 Hausdorff measure 가 아니면 안된다 이러면 할말없지만
그게 순환논리지 비례성으로는 할수 있는데 디스크적의 비례상수를 정확히 구할수 없는데 결국 돌아돌아 삼각함수 극한을 사용한건데
원 넓이 r^2π 증명과정은 그냥 극한으로 충분하잖아 - dc App
그니까 그 극한을 어떻게 증명할거냐는 얘기아님?
삼각형으로 쪼개서 샌드위치 정리 쓰면 되잖아.. 초등학교 중학교때 하던 얘기에 극한만 좀 넣으면 되고 적분을 쓸 이유가 하나도 없음
아 고딩때 극한 정의 안하니까? 뭐 그건 그럴수있겠네 - dc App
ㄴㄴㄴ 아님 그게 순환논리지 비례성으로는 할수 있는데 디스크적의 비례상수를 정확히 구할수 없는데 결국 돌아돌아 삼각함수 극한을 사용한건데
넓이를 적분으로 정의하는데 sinx cosx의 미분적분이 필요하진 않을텐데 그냥 (부채꼴의)넓이만 적분으로 따로 정의하고 적분의 성질(넓이의 대소관계)만 증명할 수 있다면 그외 부수적인 것들은 논증기하적으로 유도될 수 있는 문제 아닌가?
부채꼴의 넓이는 비례식으로 증명했던걸로 기억함. 물론 원의 넓이가 r^2pi인거 보일때는 좀 어거지스럽게 존나쪼개서 직사각형 만들었었지만
그게 순환논리지 비례성으로는 할수 있는데 디스크적의 비례상수를 정확히 구할수 없는데 결국 돌아돌아 삼각함수 극한을 사용한건데
원의 넓이를 증명하는데 sinx/x의 극한이 필요하긴한데 일단 고등학교 과정에서는 원의 넓이는 직관적인 방법으로 보여주기 때문에 문제가 되진 않음
일단 곡선의 길이 공식을 단위원에 사용해서 삼각함수를 정의할 수 있고 sinx/x의 극한이라던가 덧셈정리라던가 원의 넓이라던가 다 유도 가능함