프리드버그 책같은 거 말고
공대용인데 살짝 엄밀한 책으로 선대 배우고 있거든
책에서 벡터 공간에 대해서만 설명을하는데
Vector space: 잘 정의된 덧셈과 스칼라 연산이 존재하고, 결합법칙, 교환법칙, 스칼라배에 대해 닫혀있고, 영벡터 존재성 등을 만족하면
그 집합을 벡터공간이라하고 원소를 벡터라한다.
따라서 행렬도, 다항식도 벡터이라는것.
ok 이해했어 근데, 스칼라배를 그냥 벡터에 실수를 곱하는데
정확히 스칼라배의 피연산자가 뭔지 궁금함
행렬 M에 스칼라배를 할 때 왜 "실수"를 곱하는거임?
체 F가 있고 F집합안에 벡터공간 V가 존재하는 거지?
그럼 벡터 v와 스칼라 k의 곱을 할 때
k는 F의 원소이어야 하는데
V의 원소이면 안됨?
체 F 위의 벡터 공간 V라고 하면 F와 V 사이에 포함 관계는 딱히 말하고 있는 게 없음. '체 F 위의'라는 말은 V의 스칼라곱이 누구와 맺어져 있는지 말하는 것임. 네게 익숙한 실수 집합도 익숙한 연산과(가감승제) 함께 체를 이루니, 실수체 위의 벡터 공간을 생각하면 여기서 스칼라곱이란 실수와 벡터의 곱을 말하는 것 뿐임.
ㅇㅎ 고마워
그럼 대부분의 벡터공간은 실수 체와 함께하는거임? 다른 체와 행렬 벡터공간을 정의할 수도 있는거임?
ㄳㄳ
네 예를 들면 실수만으로 이루어져 있는 행렬을 실수 말고 복소수 위의 벡터스페이스로 정의해도 돼요. 행렬 성분은 전부 다 여전히 실수여도
ㄳㄳ 근데 님들 이런거 어디서 배움? 사실 방금 프리디버그 약간 봤는데도 못 깨달앗는데
아뇨아뇨 V랑 F는 딱히 누가 누구한테 속하거나 속해지거나 하는 관계가 없어요. 비유를 하자면 '방정식'이라는 정의와 '방정식의 해'라는 정의의 관계처럼, 그냥 '어떤 벡터공간'을 새로 정의하려면 '기존에 존재하고 있는 어떤 체'와 서로 '연관'시켜서 정의해야되는 것 뿐이에요.
'어떤 함수의 역함수'를 정의하려면 기존에 이미 존재하고 있는 어떤 또다른 함수와 연관시켜서 정의해야하듯이요
ㅇㅎ 감사요
세부적으로 알고 싶으면 추상대수학(또는 현대대수학)을 공부하면 됨.
아 질문을 잘못이해했네요ㅈㅅ.. 스칼라배라는 연산이 벡터공간의 정의에 포함되어있어서 벡터공간을 얘기할땐 항상 스칼라들의 집합이 될 체를 먼저 얘기해줘야하고 스칼라배라는 연산 자체가 스칼라들의 집합에서 가져온 스칼라하나랑 벡터하나를 벡터하나에 대응시키는 연산으로 정의돼있기때문에 벡터에 벡터를 곱하는 그런건 적어도 지금은 논의범위를 벗어난 발상이 되는거죠.
그리고 한 벡터 공간의 스칼라 집합이 될 체와 그 공간의 벡터들의 집합사이 포함관계가 있을필요는 없어요, 다만 윗댓에 적었듯이 "벡터공간"이라는 구조가 되기 위해서는 스칼라 집합이 될 체를 먼저 얘기해줘야하는것뿐.
벡터공간의 스칼라배라는 연산 자체가 좀 특이한편이긴해요. 보통은 같은 집합 내에서 원소두개를 연산한 결과가 다시 그 집합의 원소가 되는 형태의 연산을 많이 봐왔을텐데, 벡터공간의 스칼라배는 벡터 하나랑 스칼라 하나를 연산을 하기땜에 조금 어색할수있음. 이건 처음 배웠던 기하적 화살표 벡터를 생각하면 덜 어색해져요: 스칼라배 연산에서 주인공은 벡터고
스칼라를 곱함으로서 그 벡터의 방향을 고정하고 길이를 늘이거나 줄이거나 방향을 반대로 바꿔서 길이를 늘이거나 줄이거나 하는게 맨처음 배웠던 벡터공간이잖음. 일반적인 벡터공간의 정의도 이걸 따온거라 생각하면 (물론 크기나 방향 같은건 정의에 포함돼있진 않지만) 스칼라배 연산에서 뭐가 주인공인지 알수 있어요.
체F가 먼저 주어져있을때, 체F의 원소를 각 항의 계수로 갖고 정의역,공역이 F인 다항함수들의 집합을 벡터들의 집합으로 보고 연산을 표준적인 함수 합,상수배 연산을 주면 그 공간은 F를 스칼라 집합으로 갖는 벡터공간이 된다는것이 알려져있어요. 에초에 다항식 벡터 공간을 얘기할땐 보통 저런식으로 체가 먼저 주어져있고 나름 체와 연관지어서 벡터공간을 정의한후
얘기하는거라 다항식 벡터공간의 체가 뭐냐는 질문은 조금 어색한질문인것같아요.
새벽에 정말 감사합니다...
선대에서는 행렬과 행렬식 벡터공간을 연관지어서 같이 다루지만 역사적으로 보면 따로따로 연구하다가 근래에 들어서 (몇 백년도 안되어서) 같이 연구하는 학문임. 마치 자연수와 정수 미분과 적분 지수와 로그 처럼 말이야
벡터공간은 실수집합R의 원소들끼리 사칙계산을 확장하여 R^2위에서 사칙계산을 잘 정의할 수 없을까? R^3 위에서는? 일반적으로 R^n에 대해서는? 이런 호기심으로 출발했음. 결과만 보면 R^2위에서는 성공 나머지는 실패함. 왜냐하면 덧셈은 매우 자연스러운 덧셈을 요구했기 때문임. 실패라기 보다는 어쩔 수 없는 모순이 발견됨
R^2상의 곱셈도 처음에는 자연스러운 곱셈(a,b)*(c,d)=(ac,bd)를 생각했으나 역원의 존재하지 않는 경우가 발생함. 그래서 찾다가 찾다가 자연스러운 곱셈이 아닌 역원이 존재하는 연산을 발견함 (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)로 정의되고 이는 복소수와 같은 구조를 가짐
R^3에서 자연스러운 덧셈구조 (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) 에서 더 나아가 같은 원소를 2번 더하면 어떨까? (a,b,c)+(a,b,c)=(2a,2b,2c)가 되겠지 그런데 이는 분배법칙이 생각나는 구조잖아. 2(a,b,c) 처럼 말이야. 2번 더한 다는 것이 아니라 일반적으로 n번 나아가 실수곱으로 확장하면 r(a,b,c)
여기서 r in R, (a,b,c) in R^3겠지. 이런 나눗셈이 정의되지 않는 구조가 생각보다 할 수 있는 것이 많은 거야. 그리고 이러한 R^n상의 덧셈은 마치 원소를 옮기는 것 처럼 보여서 차량 vehicle과 같은 어원을 가진 vector공간과 vector 라고 불렀어
이 3차원 상의 옮기는 듯한 수학적 구조는 물리에서 공간상의 이동을 설명하기에 너무 좋았고, 실수배 하는 것은 스케일(scale) 을 키우는 듯한 느낌을 주었어. 그래서 실수배를 스칼라배(scalar multiplecation) 라고 불렀고
이후에 연구를 거듭한 결과 R과 R^n이 아니더라도 사칙연산과 분배법칙이 잘정의된 구조F와 덧셈과 결합법칙, 항등원, 역원과 교환법칙이 잘 정의된 구조V면 벡터공간의 성질이 모두 사용가능하다고 알게되었지 그래서 V와 스칼라 F를 사용하고, F는 꼭 실수가 아니더라도 유리수나 복소수 기타 다른 대상도 가능하지만, 공대 학부 초기 선대에서는 대부분 실수R 을
사용하지. 이후에 미적을 하기 위해서는 사칙계산이 가능한 구조일 필요는 없고 벡터공간의 공리(덧셈구조와 스칼라곱의 구조) 만으로도 가능하다는 것도 알게 되었지. 공대쪽이면 실질적 계산많이 하고 나중에 텐서미적 같은 것도 할텐데, 처음에는 물리스럽게 받으들이다가 나중에는 수학스럽게 받아들이면 좋을 것 같아
님 ㄹㅇ 정말 감사합니다...