두번 미분가능한 함수
f:[a,b]->R이
a<x<b인 모든실수 x에 대하여
( f(b)-f(x) )/(b-x)
>
( f(b)-f(a) )/(b-a)
>
( f(x)-f(a) )/(x-a)
가 성림하면
a<x<b인 모든실수 x에 대하여
f"(x)>0이다.
역명제는 증명햇는데
이 명제는 증명을못해서 동치임을 못보이겟네유..어떻게할까요
추가로,고교과정에서는 안다루지만
두번미분가능한 함수
f:[a,b]->R에 대해
a<x<b인 모든실수 x에 대하여
f"(x)>0임과
a<x<b a<y<b x#y인 모든 실수 x y와
0<t<1인 모든 실수 t에 대해
f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)
는 동치임을 어떻게보일수있을까요?
- dc official App
<<수정>> f"(x)>0이다 명제를 f'이 a<x<b에서 강증가한다로 고침 - dc App
x^4 [-1, 1]같은 경우는 f''(0) = 0인데도 convex하니까 저 명제가 성립하니까 f''(x) >= 0이어도 성립 사례가 있는데 0을 포함하면 상수함수에서 저 부등식이 안먹힐거임
그래서수정햇어용 - dc App
최고차항 계수 양수고 짝짝이인 사차함수에서 평균변화율 0이게 만들면 저 부등식을 만족하지만 강증가는 될 수 없음
그냥 convex function의 여러 equivalent한 정의들을 써먹으면 금방 풀리는 문제임. 요약하자면 f가 (a,b)에서 strictly convex인것 : f(tx+(1-t)y) < tf(x) + (1-t)f(y) 과 임의의 a < x_1 < x_2 < x_3 < b에 대해서 (f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1) < (f(x_3)-f(x_2)) / (x_3-x_2)인것이 동치라는걸 증명하면, f가 (a,b)에서 strictly convex인것과 f'가 (a,b)에서 강증가한다는게 동치인건 쉽게 보여짐.