[일반] 미분 가능성 이거 증명 어디 나오냐?

[oo(211.193)]

1. limh->0 [{f(a+mh)-f(a-nh)}/(m+n)h] 가 존재한다 (m,n은 서로 다른 어떤 실수) [f가 x=a에서 연속이란 가정은 넣자.]

이거랑

2. f 가 x=a에서 미분가능

이거랑 동치인거 증명 어떻게 하냐? 대학책에 증명있는 곳 있으면 추천좀

전제조건을 f가 x=a에서 좌미분계수, 우미분계수가 존재한다고 가정하면 쉽게 증명가능한데 그런 조건 없이도 1,2가 동치인 거 증명 어케함?

만약 증명 못하면 반례가 뭐지..?

[익명(109.220)]

동치아닌뎅 0에서만 1이고 나머지에서 0인 함수 생각해봐

[oo(211.193)]

그러네 a에서 연속인 가정은 넣어야겠다.

[ㅇㅇㅇ(77.103)]

1번에서 조건이 빠졌는데, x=a에서 f가 연속이라는 조건이 추가로 있어야 1과 2가 동치가 됨.

[ㅇㅇㅇ(77.103)]

결국 1 -> 2를 보이려면 1의 식으로부터 (f(a+h) - f(a)) / h가 수렴한다는걸 보여야 하는데, 편의상 |m|>|n|이라 가정하고 (-n/m)^k * h가 k가 무한으로 가면 0으로 수렴한다는 사실과 f가 x=a에서 연속이라는 사실을 이용해서, f(a+h) - f(a) = ∑(f(a+(-n/m)^k h) - f(a+(-n/m)^{k+1} h))의 telescoping sum을 만들어줄 수 있고 (∑은 k=0부터 무한까지), 여기에 1번의 가정을 이용하면 2번이 도출됨.

[oo(211.193)]

마지막 부분에 1번의 가정을 이용하면 2번이 도출된다는 부분 자 세히 설명해줄수있어? 1에서 m,n은 임의의 서로 다른 실수에서 극한이 전부 다 존재하는게 아니라 어떤 특정한 서로 다른 주어진 실수 m,n으로 한거지?

[ㅇㅇㅇ(77.103)]

세히 풀어서 써서 댓글로 달았더니 자꾸 깨지네. 요약하자면, |n/m| < 1이기 때문에 |(n/m)^k h|는 |h|보다 항상 작기 때문에, 1번의 극한식을 epsilon-delta로 풀어써서 생각해보길 바람.

[oo(211.193)]

감사합니다. 혹시 이런 내용 증명이나 정리가 되어있는 책이나 pdf 자료 등이 어디 있을까요?

[oo(211.193)]

그리고 많은책들에서 1 의 가정에 좌미분계수, 우미분계수가 둘다 존재한다는걸 넣어놓던데 이건 상황을 더 쉽게 증명하려고 넣은거지 없어도 되는 조건인거지? epsilon-delta 부분으로 하란 건 설명이 잘 이해가 안되는데 ㅜ 시간날때 조금만 도와주라

[ㅇㅇㅇ(77.103)]

그건 좌미분계수 우미분계수 존재성 가정하면 증명이 더 쉬워지니까 그런거고, 그냥 epsilon delta 정의써서 위에 언급한 telescoping sum을 잘 바운드하면 한두줄로 끝나는 문제라서, 이 정도는 스스로 해보는게 좋을거 같음.