여기서 답지에사 A의 내부가 A라고 했습니다
x, y좌표다 둘다 0보다 작은 경우엔
내부의 원소가 되는데
x축위에 있는점 y축위에 있는점 원점에 대해
생각해봤습니다
그래서 사진처럼 원점에서 생각해보니 답지 기준으로
원점이 내부의 원소이긴한데 집합 A보다 더 커져서
안되는데…
이해가 안가네요…
x, y좌표다 둘다 0보다 작은 경우엔
내부의 원소가 되는데
x축위에 있는점 y축위에 있는점 원점에 대해
생각해봤습니다
그래서 사진처럼 원점에서 생각해보니 답지 기준으로
원점이 내부의 원소이긴한데 집합 A보다 더 커져서
안되는데…
이해가 안가네요…
저건 A의 preimage under f잖아. 그러니까 A는 X의 open subset이지.
아 위상 T_A에 대해서 따져 봐야하는거죠??
저런게 임용시험임?
격자점 (x,y)를 포함하는 임의의 open set이 좌표가 각각 x,y보다 작거나 같은 모든 격자점을 포함해야한다는 게 핵심인가
ㅇㅇ 맞는데 내부가 첫번재 댓글의 답글을 의미하는게 맞나?? 절편에 있는 값들을 어떻게 처리해야할지 모르겠네…
일단 증명을 받아들이게만 해주자면 절편에 있는 값들이 뭔지 따지지 말고 그냥 f^(-1)(A) 가 T(R^2의 보통위상)에 포함되는지만(그니까 열린집합인지) 확인해봐. f^(-1)(A) = {(x,y) : x,y는 실수, x,y<1} 이고 이건 확실히 R^2의 열린집합이지.
어떤 집합 U가 열린집합이면 U의 내부는 그냥 U가 된다는 것이 알려져 있음(정의에 의해서, 뭐 다른 내부의 다른 성질에 의해서 등 암튼 매우 쉽게 보일 수 있음). 그러니까 문제의 A는 문제의 정의(f^(-1)(A)이 R^2의 open set이므로 A가 X의 open set)와 방금의 사실에 의해 열린집합이니 A의 내부는 그냥 A임.
참고로 내가 단 첫번째 댓은 정수 a,b에 대해 B(a,b) = {(x,y) : x,y는 정수 x<=a, y<=b} 꼴의 집합들의 모임이 주어진 T_1의 기저라는 것을 의미함.
이거 우선 내부는 {x,y|x<1,y<1} 이고 폐포는 {x,y|x=<1,y=<1} 맞음?
엉? 내부가 A구나 본문에 써놨었네…
범위가 정수니까 결국 그게 그거였네…두번째는 대충 [-1,1]x[-1,1]로 하면 되지? 이유는 f가 연속이고 [-1,1]x[-1,1] 가 컴팩트니까 image도 컴팩트. 그리고 X에서 오픈이면 무한집합이니까… 맞나?
다시 생각해보니 클로저는 X일 거 같다
내부 구할때 절편에 있는 값들은 어떻게 처리했음?
내가 구한 것들 다 답 맞아? 알려주라…
절편의 값을 어떻게 처리했냐고 묻는 게 이해가 잘 안 돼서 내가 푼 방법을 말해볼게. 우선 G가 오픈이라는 건 그 역상이 오픈이라는 것과 같지. 이거만 보면 뭔소린지 잘 알 수 없으니 G가 singleton일 때( G={m,n} )생각해보면, G의 역상은 [m, m+1)x[n,n+1)이 될 거야
그런데 R2에서 오픈이려면, 기하학적으로 생각해볼 때 “경계가 없는 직사각형들의 조합(또는 합집합)”이 되야 하잖아? 따라서 singleton은 not open이지. 한번 이걸 좌표 평면에 나타내보면(좀 더 엄밀하게 하려면 꽤나 풀이가 길어질 거 같아 그래서 문제에서도 풀이 없이 답만 쓰라난 거 같고) 왼쪽과 아래쪽이 막힌 정사각형모양이야 이제 (m,n)
을 포함하는 집합이 open이려면 그 역상도 open, 즉 그 역상이 경계가 없어져야 하니, 그 점 기준으로 아래로 모든 점과 왼쪽으로 모든점을 다 포함하고, 그 사이의 점들도 다 포함하는 형태여야 해 A는 이 조건을 만족하므로 그 자체로 open이 되지
아 컴팩트도 틀렸네 ㅠㅠ 위상이여서 그런지 어렵다
무한집합 B는 {(n,n)|n=<0}이면 되려나? B의 오픈커버링에 대해서0을 포함하는 오픈셋은 대각선 아래 전체(즉 B)도 포함하니까 컴팩트
Z에 (-infty,n)을 basis로 주는 topology를 약간 변형한 위상. 3사분면의 translation처럼 생긴 것들만 open임을 확인하면 당연한 문제. interior A = A이고, closure A = X. 다른 집합들의 interior, ,closure, boundary, limit point들도 재밌으니 찾아봐. - dc App