다 지난 떡밥이긴 하지만 읽어보고 나니까 혹시 나도 엡실론-델타 논법을 이해하는데 혹시 오해가 있는데 스스로는 눈치 못챘을수도 있을거 같아서,


한번 내 생각을 정리할 겸 지적을 부탁하고자 글을 쓰게 됐음.


엄밀하지 못한 글일지 모르겠지만 읽어주시고 틀린 부분이 있으면 댓글으로 알려주시면 감사함.


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우리가 어떤 두 대상이 다르다고 말할 수 있는 이유는 무엇일까?


무슨 테세우스의 배 같은 철학적 이야기를 하고자 하는게 아니라 동시에 존재하는 두 대상에 대해 논할때, 일반적으로 우리는 딱 보면 둘이 다르다고 말할 수 있겠지만 그걸 좀 더 명확하게 이야기하자면 어떤 기준이 있고 그 기준 아래에서 두 대상이 차이를 드러낼때 우리는 그 둘이 다르다고 이야기한다. 가령 사과와 배가 다른 이유는 색깔이라는 기준에서 하나는 빨갛고 하나는 노란색이며, 맛이라는 기준에서 하나는 상큼달달하고 하나는 시원달달하며, 유전학적인 기준 하에서 하나는 사과나무의 열매이고 하나는 배나무의 열매이며 등등... 과 같은 이야기가 머릿속에선 딱 보면 서로 다른거 아니냐는 것으로 정리되는 것이다.


그럼 어떤 두 숫자가 사실은 서로 같은 것이라는 말은 어떻게 할 수 있을까? 이 역시도 어떤 기준에 따라서 그 기준 하에서 그 둘이 차이를 드러내는지에 따라 판별할 수 있다. 가령 1과 2가 다른 숫자인 이유에 대해서, 두 숫자가 서로 다르다고 말할 수 있는 기준을 0.1이라고 하자. 즉 0.1보다 그 둘의 차이가 크다면 그 둘은 다른 숫자이고 그보다 작다면 그 둘은 같은 숫자이다. 이때 2-1은 1이며 이것은 0.1보다 큰 숫자이므로 이 둘은 서로 다른 숫자이다. 반면 1.99와 2를 가지고 이야기한다면, 0.1이라는 기준 하에선 이 둘은 같은 숫자가 되는 것이다.


그럼 이 기준과 허용오차라는 개념을 극한까지 확장한다면, 가령 a_{n} = 1-10^(-n)이라는 수열을 생각해보자. 이 수열의 경우 a_{1} = 0.9, a_{2} = 0.99, a_{3} = 0.999, ... 하는 형태이며 그 극한은 당연히 0.999... 가 된다. 그렇다면 이 0.999... 라는 숫자는 1과 어떻게 다른가? 만약 기준을 0.00000000001으로 잡으면, 0.00000000001보다 차이가 같거나 더 크면 다른 숫자고 그보다 적으면 같은 숫자라고 한다고 할때 0.999...와 1은 서로 같은 숫자인가 다른 숫자인가? 당연히 그 차이가 기준 아래일 것이므로 0.00000000001이란 기준에선 그 둘은 서로 같은 숫자일 것이다.


그런데 여기선 우리가 어떤 기준을 가져와도 0.999...와 1의 차이는 그 기준보다 더 작을 것이라는게 분명하다. 따라서 우리가 제시할 수 있는 어떤 아무리 작은 기준 하에서도 0.999...는 그 테스트를 통과하므로, 즉 어떤 허용오차(error)보다도 그 차이가 더 작으므로 결국 우리는 0.999... = 1이라고 말해야 한다.


이는 간단한 수열의 극한을 생각해본 것이다. 그렇다면 함수의 경우에는 어떨까? x→a일때 f(x)→L인 경우를 생각해보자. 이때 엡실론 델타 논법을 따르면 어떠한 e(엡실론)>0에 대해서도 어떤 d(델타)>0이 존재하는데, 그 d(델타)는 어떤 값이냐면 0<|x-a|<d일때 |f(x)-L|<e 를 만족시키는 값이다.


여기서 엡실론은 내가 위에서도 이야기한 허용오차(error)이자 기준이 되는 값이다. 즉 어떤 기준을 가져와도 그 허용오차보다 둘 간의 차이를 작게 - 그 둘의 차이가 허용오차 안으로 들어올 수 있게끔 만들어주는 델타(나는 그래서 이게 distance 또는 difference에서 따온 글자라고 생각한다)가 존재한다면 그 둘은 서로 같은 것이라고 봐야 한다는 식이다.


단순한 일변수 함수만이 아니라 거리공간에서의 경우로 이 개념을 생각한다면 이러한 생각은 더 명확해질 수 있다. 어떤 함수 f:X→Y에 대해서 X,Y가 둘 다 거리공간이고, 모든 e>0에 대해 어떤 d(델타)>0이 존재하는데 그 델타는 d(x,a) < d일때 d(f(x),L) < e가 되게 하는 값이다. 즉, 거리공간 상에서 어떤 함수의 mapping을 거친 값 f(x)와 L 사이의 거리(distance)가 항상 허용오차(error) 안에 들어오게끔 하는 델타를 잡을 수 있다는 이야기가 된다.


그렇다면 확률적으로 수렴한다는 말의 엡실론-델타 논법은 어떻게 정의할 것인가? 어떤 확률변수 X_{n}과 X에 대해서 <X_{n}>이 확률적으로 X에 수렴한다는 말은 어떤 식으로 정의될 것인가? 어떤 event outcome에 대해서 random variable이라는 함수의 값이 서로 다르다는 말은, 같은 event outcome을 넣었을때도 그 랜덤변수가 돌려주는 값이 서로 다르다는 뜻이 될 것이다. 그렇다면 그것이 확률적으로 다르다는 뜻은? 그것은 어떤 outcome에 대한 랜덤변수 값의 차이에 대한 확률으로 생각할 수 있다. 따라서 여기서는 허용오차가 두개가 필요하다. 즉 랜덤변수의 차이에 대한 허용오차와, 그 차이가 발생할 확률에 대한 확률오차가 필요한 것이다.


즉, X_{n}에 outcome omega(w)를 넣은 값 X_{n}(w)와 X(w) 둘의 차이가 허용오차 e1 밖으로 벗어나는 경우에 대한 확률이 허용오차 e2보다 작다면 - 다시 말해, 어떤 outcome에 대한 각각의 랜덤변수의 값이 허용오차1보다 커질 확률이 허용오차2보다 작을만큼 매우 작다면 (확률이 0으로 수렴한다면), 우리는 각각의 랜덤변수가 허용오차1보다 작은 수준에서밖에 차이가 발생하지 않으므로 그 둘이 서로 확률적으로 같다고 말해야 한다는 것이다.


(또는 어떤 랜덤변수 X_{n}과 X에 대해 X_{n}(w)과 X(w)의 차이가 허용오차 e보다 작을 확률이 1인 것으로 정의하는 방법도 있다. 이때는 허용하는 오차가 하나 줄어들은만큼 - 확률에 대해서 허용하는 오차가 없이 무조건 1이므로, 확률적으로 수렴한다는 표현보다 좀 더 강한 표현으로 보인다)


이러한 방식으로 단지 수열과 함수만이 아니라 수많은 다른 수학적 개념들에 대해서 극한과 수렴의 개념을 기준과 허용오차라는 방식을 통해 설명할 수 있다.


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갑자기 확률 이야기가 나온건 내가 이번학기에 수업 듣는 과목이 통계학이라서...