환 R은 R모듈 R로 볼수있다
이때 "그 모듈 R의 아무 submodule N은 링R의 아이디얼이되고 그 반대도 성립한다"
몫quotient 모듈 R/N 은 자연스럽게 R/N 모듈이 되는데 이 말은 R/N에 곱셈이 가능하단 말이고 이놈이 바로 몫quotient환 R/N이다.
즉 아이디얼은 모듈의 관점에서 보면 와꾸가 맞아떨어짐
(군 -몫군-부분군 (o) 환-몫환-부분환(x) 모듈-몫모듈-부분모듈(o) )
이때 "그 모듈 R의 아무 submodule N은 링R의 아이디얼이되고 그 반대도 성립한다"
몫quotient 모듈 R/N 은 자연스럽게 R/N 모듈이 되는데 이 말은 R/N에 곱셈이 가능하단 말이고 이놈이 바로 몫quotient환 R/N이다.
즉 아이디얼은 모듈의 관점에서 보면 와꾸가 맞아떨어짐
(군 -몫군-부분군 (o) 환-몫환-부분환(x) 모듈-몫모듈-부분모듈(o) )
ideal은 무조건 subring임 ring을 subring으로 quotient한게 무조건 ring이 되는 게 아닐뿐
ㄴㄴ
ideal이 subring이 아니라고 하는거보니 잘알이네 아 ㅋㅋ 세상에 1 없는 ring이 어딨냐고~
R이 commutative가 아닌 한 R-R bimodule로 봐야 submodule이 ideal이 되지.. 좀 지저분함 test function space같이 1없는 ring중에 중요한 애들도 많고 ring에 꼭 1이 있어야 한다는 건 난 좀 별로다
가환한이 아니면 (left,right) ideal (left,right)module 만 각각 붙여주면 되는거고 rng과 ring을 안구분한다는건 semigroup과 monoid를 안구분하는것과같음
모노이드는 당연히 "부분모노이드로 나누어 몫모노이드를 얻는다"는 아다리맞는 상황이 되지만 모노이드를 "부분semigroup으로 나누어 몫모노이드를 얻는다"고 하면그게 아다리맞아 보임?
ring과 unital ring으로 구분 잘만 하고 있는데 뭐... 그리고 group도 normal subgroup으로 잘라야 quotient group이 나오지, 아무 subgroup으로 자른다고 quotient가 나오나.
누가 normal subgroup 몰라서 그럼? sub~인지 아예 다른 카테고리의 object인지문제 삼는거지
솔직히 학부생따리가 뭔가 깨달았다고 혼자 좋아하는거까진 모르겠는데 지가 모든걸 다 아는 마냥 오만한 태도로 나오면 보기 안좋아
위에 말도 동의하고, Ring에 1 있어봐야 subring의 1이랑 다를 수도 있는데 1이 ring의 필수 성분이라고 보는 것도 미적으로 이상하지 않냐
다른 카테고리의 오브젝트는 왜 나오냐 그냥 ring을 subring중 일부인 ideal로 나눈다는 건데
semigroup과 monoid를 안구분하는것이 더 미적으로 맞다고 본다고?
그 semigroup monoid 비유가 말이 안된다고 하고 있는건데 그걸 왜 해명 안하고 이상한소리하냐
ring에 identity가 있는지 없는지, 있다고 할 경우 subring은 같은 identity를 가질 것을 요구하는지 등등은 다 쓰는 사람 마음이고 그래서 그게 뭔지 맥락상 분명하게끔 나타냄. 너 혼자 identity가 있는건 ring 없는건 rng으로 해야 한다 이런다고 해서 세상 사람들이 다 그걸 따르는 건 아니야 이미 여러 관습이 너무 오래 자리잡아서 바꾸기 힘들기도 함
아벨군의 범주에서 monoid object가 ring, 아벨군의 범주에서 semigroup object가 rng
학부생 같은데 formal한 것에 너무 집착하지 마 정의가 다른 건 그 구분이 중요할 때 쓰는 거고 세상엔 ring = commutative unital ring으로 정의하고 살아도 아무 문제가 없는 사람들도 많음 그건 그 사람들이 정의를 sloppy하게 섞는 못난 수학자라서가 아니라 말 그대로 그렇지 않은 ring이 인생에서 등장할 일이 없는것뿐임
오히려 수학자 중에선 정의를 sloppy하게 섞어쓰면 고수라는 이미지도 좀 있지 않음? ㅋㅋ
아니 ring의 1이 별로 안중요하면 환의 characteristic은 어케 정의함 characteristic으로 서술되는 환,체의 성질들은 가 어떡하고
그런건 ring with 1인 경우만 다룬다고 해 난 그냥 미적으로 unital ring만 ring인 건 별로다 이정도일 뿐이지 윗분들 말처럼 그렇게 집착할 것도 아닌 것 같은데
그거 있는 애들(unital rings)에게 한해서 정의하면 되지. 뭐가 그리 불만인건데? 그냥 자기는 ring은 무조건 1을 가져야 한다고 생각하니까 딴 사람들은 ring과 unital ring을 구분을 안 하고 있다는 소리가 나오지.
학부생 친구 다른 사람 말 잘 안듣네 ring rng을 구분하지 말자는게 아니라 그걸 어떻게 구분하는가는 사람 나름이란거임
게다가 네가 말한 Ab에서의 각 object에 대한 이야기는 네 rng 자리에 ring을 넣고, ring자리에 unital ring을 넣으면 되는 일인데 뭐가 안된다는 건데.
아니 그럴꺼면 남자 여자라는 구분은 왜 있음 그냥 인간,인간 with 꼬추 이렇게만 단어를 만들지
그걸 왜 여기다 쳐묻고 있음?
ultra,,>>semigroup/monoid의 구분과 rng/ring의 구분이 어케 비슷하냐고 누가 묻길래 답한거지
그게 도대체 뭔 상관이 있다고 묻고 있는 거지. 지금 너는 네 구분을 모두가 따라야 한다며. 딴 사람들의 terminology에는 문제가 있다는 설득력 없는 주장이나 하고.
내구분을 따르라는ㅅ게 아닌데? semigroup/monoid을 구분하는만큼 rng/ring도 구분하라는건데
그렇다고 그게 ring이 1을 가져야 한다는 주장에 설득력을 더해주지도 않는데. Ring과 unital ring으로 이미 충분히 명칭 따로 붙여줬다니까?
처음부터 위에서 ring이랑 unital ring으로 구분한다는 말은 읽지도 않은거임?