[일반] sinx와 다항함수의 교점 풀이 이렇게도 되지않을까

[코세(rationnel)]

sinx/P(x)ㅡ>0 as |x|ㅡ>infinity 이므로 교점은 유한한 구간에 있을 수 밖에 없음

여기서부터는 그냥 직관인데 유한한 구간에서는 sinx든 다항함수든 유한번 진동하니까 유한번 만나지 않을까

생각나는 풀이는 sinx와 cosx 에 대해서 P_n(x)은 유한개의 교점을 갖는다는 걸 귀납적으로 증명

미분하면서 보이면 될 것 같다

[익명(210.179)]

그걸 잘 적으면 테일러 정리를 이용한 증명법이 나옴 ㅇㅇ

[익명(110.35)]

롤의 정리 쓰면 되겠지. 결국 sin(x)나 cos(x)는 계속 미분해도 cos(x)나 -sin(x) 같은애들 나오지만 다항함수는 미분할때마다 degree가 떨어지니까, 결국 어떤 [a,b] 위에서 degree n인 다항식의 p(x)와 sin(x) (혹은 cos(x))의 교점의 개수는 많아야 [a,b] 위에서 sin(x)=0이나 cos(x)=0의 근의 개수에 n을 더한 값 이내가 될것임.

[익명(110.35)]

좀 더 구체적으로 적으면 [a,b] 위에서 sin(x)=0의 해의 개수를 N_s, cos(x)=0의 해의 개수를 N_c라 하고 p가 degree n인 다항함수라 하면, [a,b] 위에서 p(x)=sin(x)의 근의 개수는 n이 홀수인 경우에는 많아야 N_c + n개, 짝수인 경우에는 많아야 N_s + n개가 됨. 증명은 그냥 x_1 < x_2 < ... < x_k를 p(x)-sin(x)=0의 [a,b] 위에서의 해라 하면 롤의 정리에 의해서, [a,b] 위에서 p'(x)-cos(x)=0의 해들이 c_1 < ... < c_{k-1}가 존재하게 됨. (c_i는 (x_i , x_{i+1}) 안에 있는 어떤 점) 여기에 귀납법 때리면 되겠지

[코세(rationnel)]

굿

[익명(110.35)]

고등학생에게 주관식 문제로 줘도 되겠네. 소문제 두개로 쪼개서 첫번째 문제는 다항함수 p(x) = a_nx^n + ... + a_0이 특정 구간 [a,b] 밖에서 절댓값이 1을 넘어간다는것을 보이게 하고 (a,b는 n,a_0,..,a_n에 대한 식으로 표현가능하도록), 그리고 두번째 문제는 [a,b] 위에서 p(x)=sin(x)나 p(x)=cos(x)의 근의 개수를 a,b,n에 대한 식으로 bound하게끔.

[기괴공학도(mecheng98)]

[웨리(49.143)]

퍄 - dc App

[익명(110.35)]

아, 1차식 미분하면 0이 되는게 아니라 상수함수가 될것이고 상수함수 미분해야 0이 되니까 N_s+n과 N_c+n을 N_s+n+1과 N_c+n+1로 바꿔야겠네.. 별 생각없이 바로 적은거라 착오가 있었음.

[dd(1.231)]

110.35 알고있었는지는 모르겠지만 원본문제는 포공 면접 기출임(16학번신입생 수학과). 여기서 말한대로 꼬리문제 나오지는 않았고 (1)은 임의의 자연수 N에 대해 2016차 다항식 p(이거는 기억이라 2016차인지 그냥다항식인지는 기억안남)랑 sin x의 교점이 N개이상인 p가 존재하는가? 2번은 무한개는 가능한가? 못푼사람 힌트로 롤의정리를 써보라 했으니 기대하는 풀이는 님이 푼대로 푼 거 같음

[dd(1.231)]

그래서 고등학생한테 내면 좋은 문제긴 하겠지만 아쉽게도 알고푸는 애들 너무 많을거같아서 조금 아쉬울듯

[익명(110.35)]

꼭 대학 면접이 아니더라도 고교 내신 서술형으로 내도 좋다고 생각하는데.. sin(x)나 cos(x)를 다른 analytic function으로 치환해도 되겠지. 고등학생이 analytic function의 해가 compact interval 위에서 유한하다는걸 보일수는 없으니, 그것을 보기에 쉽게 유도가능한 좋은 analytic function이나 적당한 미분가능한 주기함수.

[익명(110.70)]

y=1과 y=-1과의 교점이 유한함을 보이면 되네 그 교점의 수는 곧 P(x)+1=0과 P(x)-1=0의 해의 수인데 polynomial의 차수는 유한하므로 대수학의 기본정리에 따라 교점의 수도 유한 이에 따라서 P(x)와 sinx와 교점의 수도 유한 - dc App