[일반] 기초정수론 질문좀요

[익명(mf8qs9bmu2a9)]

기초정수론 Burton 최대공약수 부분의 문제인데

문제 : a l bc일때, a l gcd(a,b)gcd(a,c)임을 증명하여라

당연히 참인 건 알겠는데 식으로 서술을 어떻게 해야할지 모르겠음. gcd(a,b)=r, gcd(a,c)=s 등 놓고 해봐도 하다가 서술이 막혀가지고...... 어떤 식으로 서술을 해야 하는지 힌트좀요

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[익명(mf8qs9bmu2a9)]

저 궁금한게 a`이랑 c`이랑 서로소라고 할 수 있나요? c'이랑 서로소인 별개의 정수여야 하지 않나요?

[익명(mf8qs9bmu2a9)]

위 댓글이 좀 오해살 수 있듯이 적어놔서 다시적습니다. 제 말은 a=ua`=va`` b=ub` c=vc` (a`와 b`은 서로소, a``와 c`은 서로소) 이렇게요.

[익명(mf8qs9bmu2a9)]

아 알겠습니다. 감사합니다.

[익명(175.215)]

a가 bc를 나누니까 a는 b를 나누거나 c를 나누어야함. gcd(a,b)=1 또는 a 겠네 그런데 만약 gcd(a,b)=1인경우 필수적으로 a는c를 나누어야함. 그럼 경우의 수가 gcd(a,b),gcd(a,c) a a 1 a a 1 뿐이니

[익명(175.215)]

gcd(a,b)gcd(a,c)는 a의 배수임

[익명(mf8qs9bmu2a9)]

그럴려면은 gcd(b,c)=1이어야 하지않나요?

[익명(175.215)]

gcd(b,c)가 왜 1 이어야 하는지 모르겠네. 맨 첫댓 맨 윗줄 b대신에c가 와도 같은 논리임. a가 bc를 나눔(문제 전제조건) a가 b를 나눔 -> 댓글대로 ㄱㄱ a가 b를 나누지 않음 -> 무조건 a가 c를 나누어야함 아니면 모순임

[익명(175.215)]

a가 b,c 모두를 나누자 않으면 b,c는 a의 배수가 아니므로 bc는 a의 배수가 될 수가 없기 때문임

[익명(mf8qs9bmu2a9)]

b=12, c=20 a= 15라고 하면 a가 b나 c를 나누는건 아니지않나요?

[익명(175.215)]

a는 bc를 나눈다는 말이 a는 b의약수 또는 c의약수 여야만함 동시에 약수면 a^2의 배수일테니 당연히 a의 배수이고 둘 중에 1개만 약수이면 당연히a의 배수고, 지금 생각해보니 gcd가 1이 아니라 a의 약수 중에서 나올 수도 있겠네 그래도 gcd 2개의 곱은 무조건 a의 배수야야함

[익명(175.215)]

맞네 나 바본가 ㅋㅋㅋㅋ

[익명(175.215)]

위에 kose 님이 잘 적어주셨네요. 도움이 못 되어드려서 죄송합니다

[익명(mf8qs9bmu2a9)]

원래 문제풀 때 그런건 흔해서 어쩔 수 없는듯. 특히 해설지가 없다보니까 스스로 풀고도 이게 오류가 없는지 확신하는게 너무 힘듬

[익명(175.223)]

ax0 + by0 = gcd(a,b) 인 정수 x0,y0를 잡고 ax1 + cy1 = gcd(a,c) 인 정수 x1,y1를 잡은후에 이 둘을 곱하면 a×정수 + bc×정수 꼴로 전개되니 가정에의해 성립.

[익명(mf8qs9bmu2a9)]

아 되게 깔끔한 풀이네요. 감사해요.