R에 주어진 위상 T = { R, empty } ∪ { (x, ∞) | x ∈ R }
에 대하여 N(자연수전체) 이 cpt임을 보이자.
[풀이] { (n, ∞) | n ∈ N∪{0} }은 N의 Open Cover
N ⊂ (3, ∞) ∪ (2, ∞) ∪ (1, ∞) ∪ (0, ∞)
유한 부분 Open Cover
이므로 N은 cpt이다.
이렇게 하면 맞을까용????
[풀이] U를 N의 임의의 Open Cover라 하자.
└이렇게 퉁치고 지나가도 되는 부분인가요 ㅠ_ㅠ??
그러면 1을 포함하는 U의 원소 G1이 존재
G1=R이거나 G1=(x, ∞) (단, x<1)
어느 경우에나 N ⊂ G1
{G1}은 U에 대한 유한 Open Cover
이므로 N은 cpt
ㅠㅠ
cpt 정의를 잘못 알고 있네 그런 open cover가 존재할때 컴팩트인게 아니라 모든 무한한 open cover가 유한한 subcover를 가짐을 보여야해
빨강으로 수정해봤는데 봐주세요 ㅠㅠ 여전히 이상한가요.. 파란색은 질문이예요 ㅠㅠ
N의 임의의 open cover에서 1보다 작은 실수 k에 대한 (k, inf)가 반드시 하나는 포함되어있다를 사용해야 할듯
빨강으로 수정해봤는데 봐주세요 ㅠㅠ 여전히 이상한가요.. 파란색은 질문이예요 ㅠㅠ
"임의의" open cover가 유한한 부분덮개를 가짐을 보여야됨. 네 논리대로면 무슨 집합을 가져오든 전체집합 하나로 덮으면 끝이니까 모든 집합이 다 compact임
빨강으로 수정해봤는데 봐주세요 ㅠㅠ 여전히 이상한가요.. 파란색은 질문이예요 ㅠㅠ
빨강이 맞음. 근데 G1이 왜 R 또는 (x,inf)인지를 좀더 추가하는 게 좋을듯
아 아니구나 기저가 그렇게 주어진 줄 알았는데 그냥 위상이 저렇게 주어진거니 잘했네
U를 N의 임의의 open cover라 하자. 그러면 자연수 1을 포함하는 U의 원소 G1이있다. 이때 G1은 T의 원소이고 R 또는 (x,inf) for some x in R인데 어느경우든 1이 N의 최소원이므로 G1은 모든 자연수 n을 포함 하고 N을 덮는다. 곧 U가 N의 finite subcover {G1}을 가지므로 N은 cpt이다.
와우 감사합니다 ㅠㅠ