좀 큰 흐름을 잡고 싶은데 제가 이해한 바가 맞는지 궁금해서요
실수=완비&순서&체
라는 개념에서
1. ['실수는 완비성인 집합이다'라는 개념이 중요한 이유]
: Archimedean Property를 완비성공리로 증명할 수 있는데, Archimedean Property가 엡델 증명하는데 수도 없이 계속 쓰여서 그런것이다.
2. ['실수와 덧셈 곱셈 연산은 Field 이다']
: 위 명제는 증명이 불가능한(또는 뭐 일반적으로 해석학 개론에서는 안배우는) Axiom이다. 반대의 케이스로, 'R^n과 덧셈 스칼라배 연산은 Vector Space이다' 라는 명제는, 이와 대조적으로 '증명이 가능한 Theorem'이다. 이 두 명제는 이런 측면에서 차이가 있다.
이 두 가지 내용이 제가 이해한 바가 맞는건가요?
실수=완비&순서&체
라는 개념에서
1. ['실수는 완비성인 집합이다'라는 개념이 중요한 이유]
: Archimedean Property를 완비성공리로 증명할 수 있는데, Archimedean Property가 엡델 증명하는데 수도 없이 계속 쓰여서 그런것이다.
2. ['실수와 덧셈 곱셈 연산은 Field 이다']
: 위 명제는 증명이 불가능한(또는 뭐 일반적으로 해석학 개론에서는 안배우는) Axiom이다. 반대의 케이스로, 'R^n과 덧셈 스칼라배 연산은 Vector Space이다' 라는 명제는, 이와 대조적으로 '증명이 가능한 Theorem'이다. 이 두 명제는 이런 측면에서 차이가 있다.
이 두 가지 내용이 제가 이해한 바가 맞는건가요?
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아 감사합니다 N,Z,Q,순서로 일반화하면서 R을 정의할 때는 체라는걸 증명할수있는거네요. 그렇다면 '완비순서체는 유일하다 이걸 R이라 하기라 한다' 는 방식으로 R을 정의 할 때는, '완비순서체는 유일(Unique)하다' 라는 명제 자체도 Axiom인가요?
아 그러면 'R은 체다' 'R은 Order property가 있다' 'R은 완비성이 있다' 이 세 명제만 공리고 '완비&순서&체 는 유일하다'는 명제는 증명이 가능하다는거지요? 그렇다면 유일성은 귀류법으로 증명하는건가요??
아 감사합니다 오개념 생길뻔 했네요
공리는 정하기 나름이라
완비성이 중요한건 보통 무한개중에선 미니멈 맥시멈이 없는경우가 많은데 완비성이 있으면 이걸 정확하게 인피멈 수프리멈으로 잡아줄수 있어서 편리함(그래서 해석학에서 존재성 증명할때 주로 쓰임 ex 중간값정리 등등)