[대학교이상] 개어려운 적분질문

[익명(118.235)]

감이안오네요 ㅠㅠ

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[유해환경(dhrbdnjs0126)]

n이 정수? - dc App

[익명(118.235)]

네 - dc App

[유해환경(dhrbdnjs0126)]

일단 sin(2nx)=sin(x)려면 2nx=x+2kπ거나 2nx=(2k+1)π-x니까 x=2kπ/(2n-1) or x=(2k+1)π/(2n+1)인 건 알겠음? - dc App

[익명(14.5)]

|sin(pi-x)-sin(2n(pi-x))|=|sin(x)+sin(2nx)|니까는 (|sin(x)-sin(2nx)|+|sin(x)+sin(2nx)|)/2 = max(sin(x),|sin(2nx)|)를 0부터 pi 까지 적분하는 문제로 바꿀 수 있음

[익명(14.5)]

근데 거기서 막힘

[익명(14.5)]

ㅈㄹ 어렵네

[ㅇㅇㅇ(77.103)]

본문에서 구하고자 하는 적분값은 k=0,..,n-1에 대해서 [k*pi/n , (k+1)pi/n] 에서 |sin(x) - sin(2nx)|의 적분을 I_k라 할때 I_k들의 합과 같음. 한편 [k*pi/n , (k+1)pi/n] 범위의 x에 대해서 평균값 정리로부터 |sin(x) - sin(k*pi/n)| = O(1/n)이므로, 결국 J_k를 [k*pi/n , (k+1)pi/n]에서 |sin(k*pi/n) - sin(2nx)|의 적분이라 하면, I_k들의 합은 J_k들의 합으로 수렴하게 되므로, J_k들의 합의 극한을 구하는 것으로 충분함.

[ㅇㅇㅇ(77.103)]

t=2nx로 치환하면, 결국 J_k는 [0,2pi] 에서 1/(2n) * |sin(k*pi/n) - sin(t)|를 적분한 값이 됨. 이건 k가 n/2 이하일땐 [0,k*pi/n], [k*pi/n , (1-k/n)pi], [(1-k/n)pi, 2pi]의 범위에서 절댓값 안의 부호가 바뀌고, k가 n/2 이상일땐 [0,(1-k/n)pi], [(1-k/n)pi, k*pi/n], [k*pi/n, 2pi]의 범위에서 절댓값 안의 부호가 바뀌니 귀찮지만 직접 계산해줄 수 있음.