[일반]
기초정수론 Primitive Root 질문
익명(mf8qs9bmu2a9)
2022-06-02 21:14
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문제 : r은 홀수인 소수 p의 원시근이고![svg.image?small&space;(r+tp)^{p-1} otequiv&space;1]()
(mod ![svg.image?small&space;p^{2}]()
)일 때, r+tp는 모든 양의 정수 k에 대해 ![svg.image?small&space;p^{k}]()
의 원시근임을 증명하라.
여기서 k=2일때 gcd(r+tp, ![svg.image?p^{2}]()
)=1이라고 하면 오일러 정리에 의해 ![svg.image?(r+tp)^{p(p-1)}equiv&space;1]()
(mod ![svg.image?small&space;p^{2}]()
)인데 근데 조건에 의해![svg.image?small&space;(r+tp)^{p-1} otequiv&space;1]()
(mod ![svg.image?small&space;p^{2}]()
)로부터![svg.image?(r+tp)^{p(p-1)} otequiv&space;1]()
(mod ![svg.image?small&space;p^{2}]()
)이므로 모순이고 따라서 gcd(r+tp, ![svg.image?small&space;p^{2}]()
)=p or ![svg.image?small&space;p^{2}]()
이라 유도함. 근데 이 경우는 p l (r+tp)로부터 r≡0(mod p)가 되는데 그럼 문제 조건에서 gcd(r, p)=1이라는 것과 모순이므로 아예 이를 만족하는 수가 없게됨. 어디가 잘못되었을까요?
낮에도 질문 글 올렸는데 보다보니 이해했고, 아직 댓글 안달려서 혹시 누가 대답해주는 수고를 하지않게 삭제했는데, 나중에 다시 생각해보니까 댓글달려는 중이었을 수도 있으니 그냥 중간에 이해하면 댓글에 이해해서 해결됐다고 남기겠습니다.
아 이해했습니다. (r+tp)^(p-1)=!1(mod p^2) 이라고 해서 (r+tp)^(p(p-1))=!(mod p^2)이라고 넘어가는게 안되는 것이었네요.
ㅋㅋ 급한 거 아니면 혼자 구글링 하거나 고민해보는 게 답 찾는데에 빠를 수도 있어요