Order가 p^3인 group이 simple이 아님을 보이고싶음
근데 내 기억에는 p^n인 group은 abelian임
Abelian의 부분군은 항상 normal임
근데 trivial subgp랑 자기 자신 외에nontrivial proper subgp 이 존재하는지 어떻게 보여야하는지 고민중인데
이렇게 대충 스케치를 하고 난 기억력이 금붕어라
저 논리 하나하나가 맞는 내용인지 다시 확인하러가면서 하다보면 진짜 끝이 없는기분이고
진짜 대수 잘하는놈들은 사람이 아닌것같다
외울것도 많고 이런 추상적인게 어떻게 머리에서 돌아가는거지
대수 잘하는 팁이라도 있으면 알고싶네
두번째 줄부터 틀림 유한체 위의 행렬군 생각해보셈
아
유한체 위의 행렬군은 Order 저거 아닌데? 0행렬을 포함할 수 없기때문에
아 그렇네ㅋㅋㅋㅋ 사원수군 생각하면 됨 괜히 쉬운 예 찾아보려다가 헛소리했네
다시 보니깐 sylow thm 쓰면 그냥 풀릴것같은데
Sylow thm으로 order가 p^2인 부분군이 존재하고 p^2인 군은 abelian이라서 normal이 되는건가
p-group의 Sylow group은 자기자신임
정의 보니깐 그러네 정의 자꾸 헷갈릴때마다 자괴감드네
finite p-group은 nontrivial center를 가지니까.
하 center 분명 자주 나오는데 머릿속에 안 들어오네 익숙해져야하는데
근데 center가 proper 하다는걸 보이려면 어떻게 해야함? Center의 order가 p^3이라 가정하면 center=G인데 여기서 뭘 어떻게 해야할지 모르겠음
혹시 order가 p^n이면 nonabelian 이란 정리도 있나
아 center의 order 자체가 p^n꼴인데 당연히 그럴리는 없겠구나
헤매는것 같아서 알려주면 class equation이란걸 잘 생각해보십쇼
Nontrivial center가 존재한다는건 그걸로 보였는데 그 이후에도 계속 쓰이는건가 Center의 order가 p^3일때 모순을 찾던지 아니면 order가 p^3인 center의 proper한 normal subgp이 존재한다는걸 보이고싶은데 감도 안 잡히네
아니 center가 normal subgroup이잖아
G의 order가 이미 p^3인데 center=G가 되버리면 결국 G가 simple이 아님을 보일 수 없는거 아님..? Center가 normal subgroup이라서 G가 simple이 아님을 보일 수 있는게 유효한건 center의 order가 p 또는 p^2일때 뿐 이라고 생각하는데..
내가 잘못이해하고있는거면 미안
center가 자기자신이면 abelian이잖어 그럼 그냥 subgroup만 찾는 문제가 되니까 오히려 쉬워지지
거기까지는 했는데 그 subgroup을 못 찾고있어서 아직 헤매는중임
order가 p인 원소를 찾아보셈
Cauchy 정리에 의해서 order가 p인 원소 a가 존재하고 <a>가 G의 subgroup이므로 <a>가 normal이 되는거 맞음??
ㅇㅇ 그래도 되고 아니면 Cauchy까지 안가도 Lagrange 때매 order가 p, p^2, p^3 중에 하나니까 그거 이용해도 되고
오 진짜로 ㄱㅅㄱㅅ 이거때문에 날밤샜는데 이제야 잘 수 있겠음 좋은하루 보내세요