[일반] 완비(모든 코시수열이 수렴)인데 완비성공리는 성립안하는 순서체

[익명(175.223)]

대표적인 반례랑 간단한 이유 좀
(물론 이런 순서체가 아르키메데스 성질을 가지지 않는 건 알고 있음.)

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[익명(175.223)]

순서체를 절댓값으로 잘 아는 거리(d = |x-y|)가 주어진 거리공간으로 볼 수 있는데 그러면 완비를 얘기할 수 있음. 그 완비는 "코시수열 => 수렴" 이거고 완비성 공리는 잘 아는 "공집합 아닌 위로유계 subset => 최소상계 가짐" 근데 그 둘이 순서체에서는 동치가 아니래.

[익명(110.70)]

공부 다시해야할듯 ㅈㅅ.. 밑에 댓글 참고해주세요

[ultraproduct(ultraproduct)]

음. 이건 순서체가 반드시 거리공간이 된다는 보장이 없어서 순서 위상이 주어진 순서체의 입장에서 코시 수열을 생각해야 함. 그런 의미에서 초실수체에서 축소구간정리가 성립하기 때문에 임의의 코시 수열이 수렴하지만, 무한소를 하나 골라서 거기에 1,2,3배를 한 것들만 모은 것을 생각하면 걔는 sup을 가지지 않음.

[ultraproduct(ultraproduct)]

R*가 축소구간정리를 만족하는 이유는 잘 모르는 부분일 수 있어서 좀 설명하기 그런데, 그래도 말해보면 얘가 ω_1-saturated이기 때문임.

[익명(110.70)]

엥 정말? 임의의 순서체는 거리공간 아님? 절댓값이 거리함수조건 다 만족시키는 거 같은데

[ultraproduct(ultraproduct)]

그 절댓값 함수의 range가 R에 들어간다는 보장이 없지.

[ultraproduct(ultraproduct)]

초실수체 말고 R(x) (the field of rational functions with real coefficients) 생각하고 거기에 lower order주면 순서체가 되는데, 여기서도 '절댓값'함수 생각해보셈.

[익명(110.70)]

헐 그렇네.. 나 바보네 ㅋㅋㅋ ㄱㅅㄱㅅ 댓글은 찬찬히 읽어봐야할듯..

[익명(37.30)]

신기하네