저 동그라미 친 식에 리미트 걸어서
e^2x라는 결과가 나왔는데
밑에 식처럼 또 리미트를 걸어주는 이유가 뭐임?
리미트를 걸음으로써 나온 결과값에
왜 또 리미트를 걸 수 있는지 이해가 잘 안 됨..
저 동그라미 친 식에 리미트 걸어서
e^2x라는 결과가 나왔는데
밑에 식처럼 또 리미트를 걸어주는 이유가 뭐임?
리미트를 걸음으로써 나온 결과값에
왜 또 리미트를 걸 수 있는지 이해가 잘 안 됨..
[대학교이상] 수알못 극한 관련 질문 있음..
병신(59.2)
2022-06-09 20:49
추천 0
저 동그라미 친 식에 리미트 걸어서
e^2x라는 결과가 나왔는데
밑에 식처럼 또 리미트를 걸어주는 이유가 뭐임?
리미트를 걸음으로써 나온 결과값에
왜 또 리미트를 걸 수 있는지 이해가 잘 안 됨..
댓글 34
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리미트를 걸었는데 어떻게 x가 남아있노
저 오른쪽 식에서 리미트부터 1/x^2까지 괄호 열고 닫은 범위가 e랑 똑같다더라고
그런 식이면 1=1/x * x 이니까 lim 1 = 1/x * 0 = 0 이냐
아니 2x는 왜 0으로 안보내 - dc App
윗댓에다 적었는데 저 부분이 e라서 e^2x가 나오고 기존 식에 대신 들어가서 계산 진행한대
걍 분모분자에 1/x곱해서 계산해 - dc App
뭔 풀이를 보는지 모르겠지만 심각하게 틀린 풀이인거 같으니까 걍 로피탈써라 ㅋㅋ
로피탈 쓰면 식이 개복잡해질테니 저렇게 풀라하더라고 근데 이해가 안 가서 올렸었음
정당화되기 힘든 풀이법이니까 당연히 이해가 안 가지
그럼 애초에 (1+x^2)^2/x에서 2/x가 2/x^2였다면 오른쪽 식처럼 따로 극한 취해서 결과값 e^2만들고 밑에 식에 그대로 대입해서 계산하는건 가능한거?
애초에 limit를 취할때는 한번에 취해야 함... product rule이나 sum rule 같은 경우도 값은 따로 구하는거 같지만 일단 식에서 limit가 사라지는 시점은 한 순간임
이게 미분도 결국 극한이라 이야기할 수 있는건데 - dc App
(1+x^2)^2/x를 f(x)라고하면 - dc App
0에서의 미분정의 쓰려면 f(0)값이 필요하잖아 - dc App
1/x로 나누고 했을때 - dc App
그럼 일단 식은 맞단 소리야?
아니 존나 틀림 - dc App
그렇게 생각을 해도 맞다는거긴한데 애초에 틀린 표기법이여 - dc App
혹시 틀렸다는 부분이 윗댓처럼 오른쪽식에서 극한 취했는데 2x만 따로 살아남은 채로 결과가 나와서 그런거?
ㅇㅇ 보낼거면 다 한번에 보내야함 표기상 문제있는거지 극한보낼때는 결국 서로 값이 점점좁아져서 같은 값 가지는건 맞을듯 - dc App
아 개념상으론 충분히 가능할법하긴한데 표기가 잘못된거라고? 그럼 그냥 정석풀이보단 요행으로 풀었다고 보면 되는건가?
논리를 만약 저렇게 따로 보낼수있는 상황과 아닌상황 구분할 수 있으면 저렇게 표기가능할듯 아마 무한 관련해서는 문제가 충분히 생기니까 그런 논리를 함부로 쓰지 말라는것읾 - dc App
아 극한 생각보다 줜나 어렵네 진짜.. 일단 고마워
그 또 물어봐서 미안한데 사실 저게 왜 가능한 상황인지 아직 이해가 안 됐음.. 밑에 예시로 든 댓이랑 왜 다른 상황인지 혹시 설명 가능할까?
글에있는 문제는 결국 x가 충분히 작아질때 둘의 차이가 계속 작아질수있거든 왜냐면 가운데는 e로가고 그걸 0에가까운값으로 제곱하는거니까 0이아닌수를 0제곱하는거란말이야 그니까 e^2x를 x>0으로 보내는거랑 유사해지는거고 근데 아래거는 1이 아닌데 그걸 무한크기로 제곱하는거잖아 충분히 문제가 생기지 - dc App
미안하다 열심히 설명해줬는데 이해가 잘 안 된다..ㅜㅜ
유한제곱에서는 따로 보낼수 있어도 무한제곱은 따로 못보낸다는거임 - dc App
무한제곱은 무조건 붙여놓고 계산해야하고 유한제곱인거는 떼놓고 할수있을거임 - dc App
아 극한의 성질에서 분수꼴 리미트 취할 때 분자, 분모가 각각 수렴하면 분자, 분모 각각 따로 리미트 취할 수 있는거처럼 이것도 무한제곱이 아니라 유한제곱일땐 값이야 뭐가 나오든 어쨌든 수렴한다는거니 얘도 유한제곱일때 한해선 따로따로 리미트 취할 수 있다는건가?
해당 댓글은 삭제되었습니다.
미안하다 부랄 2개 정상적으로 달려있다
너의 논리는 lim x->0 1+x=1이니까 lim x->0 (1+x)^1/x에 1+x만 1로보내놓고 lim x->0 1^1/x이라 1이다 하는거랑 정확히같음 - dc App
log(1+x^2) / x^2 = log(1+x^2)^{1/x^2}의 극한이 1로 수렴한다는걸 유념하면, 2/x * log(1+x^2)가 0으로 수렴한다는 사실을 알 수 있음. 이제 (1+x^2)^{2/x} = e^{2/x * log(1+x^2)}로 두고, 본문의 식 ((1+x^2)^{2/x} - 1) / sin x을 변형해서, (e^{2/x * log(1+x^2)} - 1) / (2/x * log(1+x^2)) , (2/x * log(1+x^2)) / x , x / sin x 세 항의 개별적인 극한의 곱으로 놓고 생각해보면 됨. 첫번째 식의 극한은 t가 0으로 갈때 (e^t - 1)/t의 극한이 1로 간다는걸 고려하면 되고.
그리고 본문에서 (1+x^2)^{2/x}을 e^{2x}로 놓아도 올바른 답이 나오는 이유는, (1+x^2)^{2/x}를 e^{2x}로 근사했을때 나오는 오차가 1/sin x를 취하더라도 무시할 정도로 작기 때문임. 엄밀히 적으면 log(1+x^2) = x^2 + O(x^4)라서 (1+x^2)^{2/x} = e^{2/x * log(1+x^2)} = e^{2x + O(x^3)} = e^{2x} + O(x^3)이 되어버리는데, 여기서 오차 O(x^3)를 sin x로 나눈 값의 극한은 0으로 가니까 오차 O(x^3)에 관한 항을 아예 무시할 수 있어서 그럼.