[일반] IVP의 해의 존재성과 유일성에 관한 질문

[기괴공학도(121.179)]

공업수학 책에는 정리만 나와있고,

증명은 책의 수준을 넘는다고 생략함.

(참고문헌은 [A11] Ince, E. L., ~로 되어있음.)

증명의 핵심 아이디어는 뭐임?

증명을 쉽고 짧게 설명해주시면 감사하겠음.

[익명(125.138)]

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fixed-point_theorem

[기괴공학도(121.179)]

ㄱㅅㄱㅅ

[기괴공학도(121.179)]

과연 책의 수준을 뛰어넘는군 ㅋㅋ

[익명(125.138)]

아니면 euler method처럼 그냥 explicit한 방법으로 f가 적당히 smooth하면 연속함수를 직접 만들수 있다는걸 보인뒤, 그 연속함수가 미분방정식의 해가 된다는걸 보일수 있는데, estimate할게 더 많지만 방법론 자체는 더 직관적임.

[익명(125.138)]

그냥 학부 2학년 해석개론만 알면 이해할 수 있어. 미분방정식을 적분 형태로 변환한뒤 그 적분 operator가 f가 Locally Lipschitz라는 성질을 이용해서 contraction mapping이 됨을 보이면 돼. Locally lipschitz 조건 없이 f가 연속인 경우에도 미분방정식의 해는 국소적으로 존재하게 되는데, 이 경우에는 국소적으로 유일하다는건 보장할수는 없어. 이 Cauchy-Peano 정리에 대한 간단한 증명은
https://arxiv.org/pdf/1202.1152.pdf
의 4, 5페이지 참고하면 됨.

[기괴공학도(121.179)]

정말 정말 감사합니다 ㅠㅠ

[익명(125.138)]

Cauchy-Peano 정리 증명은 f가 연속이라는 조건 외에 다른 조건이 없으니, 고정점 정리를 이용해서 증명하는 경우에는 Banach 고정점 정리말고 다른 형태의 Banach 공간에서의 고정점 정리인 Schauder 고정점 정리를 사용하는 경우가 많음. 보통 함수해석학 시간에 다루니까 학부 해석개론에서는 잘 다루지 않겠지만...

[기괴공학도(223.39)]

알겠습니다. 정말 감사합니다.

[Fablular한소설(we1607)]

an introduction to ordinary differential equation-coddington 이 책 마지막부분에 증명 있습니다! - dc App

[Fablular한소설(we1607)]

위의 분들은 조금더 일반화된 정리를 말씀해주셨지만 nth order linear deq 에서 계수들이 모두 상수일때의 증명이 있어요 읽어보시면 간단한 증명이기때문에 보시면 이해하실 수 있으실겁니다! - dc App

[기괴공학도(180.67)]

알겠습니다. 감사합니다.