[대학교이상] [해석학 질문] f(xy) = f(x) + f(y) 이고 ...

[익명(210.223)]

(1)  f(xy) = f(x) + f(y)

(2)  f는 연속에 미분가능

(3)  f는 증가함수

이 세조건을 만족시키면 왜 로그함수인거야?

수학 전공이 아니라 해석학을 잘 모름. 

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[익명(14.37)]

너뭐냐ip가같네 - dc App

[익명(180.67)]

https://math.stackexchange.com/questions/1621123/if-fxy-fx-fy-show-that-f-can-only-be-a-logarithmic-function

[익명(210.223)]

글 읽어봤는데, 첫번쨰 답변은 연속 조건이 필요하다는 말이 적혀있고, 두번쨰 답변은 상미분 방정식까지만 만들고 그 이후는 설명을 안 해주네...

[익명(180.67)]

https://m.dcinside.com/board/math/37755

[익명(210.223)]

로그 함수가 저 조건을 만족 시킨다는 건 나도 구할 수 있거든? 근데 로그 함수가 유일하게 만족시키는 이유를 모르겠어

[익명(14.37)]

그렇게 정의했으니까요

[익명(14.37)]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Logarithm
해석적 성질 부분 보시면 이해 되실 듯요

[익명(14.37)]

'ㄱ'을 왜 '기역'이라고 읽어요?; 그렇게 정의했으니까요. 그러면 'ㄴ'은 왜 '기역'이 될 수 없어요?; 'ㄱ'만이 '기역'이 될 수 있으니까요.

[익명(58.127)]

그니까 글쓴이는 왜 하나밖에 없냐고 묻는 거잖음 네 대답은 로그가 저 성질을 만족한다는건데 그냥 딴소리지

[익명(118.235)]

특수한 경우 하나를 로그라고 정의했는데 뭔 개소리임

[익명(118.235)]

당연히 하나지 딴소리가 아니라

[익명(58.127)]

그니까 왜 하나냐고; 연속 조건 없으면 유일하지도 않음

[익명(118.235)]

넌 왜자꾸 개소리를 아무렇지 않게 지껄임? 도대체 본문은 제대로 읽고왔는지부터가 의문이네, 상보존, 미분가능, 단조증가 세 가지를 동시에 유일하게 만족하는 걸 로그함수라고 했는데 갑자기 뭔 연속이 없으면 유일하지가 않는다니 당연한 개소리를 하고있냐?? 진심인데 너 문제있냐?

[익명(58.127)]

지랄났네 진짜ㅋㅋㅋ “왜”라는 단어가 뭔 뜻인지 모름? 그니까 왜 그게 유일하냐고 이유를 묻는건데 그냥 다짜고짜 유일하고 그게 로그라고만 말하면 이게 답이 되냐?

[익명(210.223)]

로그 함수가 저 조건을 만족 시킨다는 건 알겠어요. 그리고 저 조건을 잘 이용해서 로그 함수의 미분을 만들 수 있다는 것도 알곘어요(
https://orbi.kr/0006420291
이런 느낌?) 근데 제가 모르겠는 건, '로그 함수가 아닌 함수는 저 조건을 만족시킬 수 없다'는 사실을 어떻게 증명하냐는 거죠

[익명(180.67)]

https://www.quora.com/Is-any-function-satisfying-f-x+y-f-x-f-y-necessarily-an-exponential-function

[익명(118.235)]

그냥 대우명제잖아

[익명(58.127)]

정의역이 어딘데

[ㄹㄹ(220.74)]

f(0) = 0

[익명(223.62)]

f'(x) =a/x니까...

[ns(qwer2357)]

1. 정의역이 양수, 정의역이 0아닌 실수 같은 조건이 있어야한다. 아니면 y=0넣어서 f가 상수함수 0이 되고 그럼 3에 위배돼서 해가 없음 3때문에 음수일때도 안되는데 보통은 log|x|같은거도 1은 만족시킴 2. 퉁쳐서 로그함수로 불렀지만 밑이 1이상인 로그함수 내지 c log x로 불러야 맞다.

[ns(qwer2357)]

1, 2번 조건 만족시키는건 그냥 잘 알려진 문젠데 보통 변수치환을 해서 x=e^t y=e^s로 두고 f(e^t) = g(t) 로 주면 g(s+t) = g(s)+g(t) 를 만족시키는 해를 구하는 문제로 떨어짐 이건
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation
이라고 연속 등의 제약조건

[ns(qwer2357)]

을 걸면 g(t)=ct 꼴밖에 없음을 알고 있음. 그러면 t = log x니까 f(x)=g(t)=c log t 꼴 해밖에 없음을 암. 증가조건때문에 c > 0이고.

[익명(115.140)]

y에 대해 편미분 하면 f'(x)=f'(1)/x 로 나옴 그래서 로그함수