이런식의 부분기저가 구성되면 (1,y)위의 직선들은 부분기저로 표현이 안되는데 R2의 부분기저라고 보기에는 무리가 있지 않을까요? 문제설정이 잘못된거겠죠!

또 밑의 문제의 경우 어디가 틀렸는지 모르겠습니다,

집합 A가 컴팩트 공간이라 가정합니다.
A가 컴팩트 공간이면 임의의 열린피복에 대해 유한개의 열린피복을 구성해낼수 있잖아요.
그 유한개의 열린피복을 각각 G1,G2...Gn이라고 하면
U{G1,G2...Gn}=A니까
각 G1,G2...Gn을 부분기저라 설정한다음, 부분기저의 성질에 의해 유한개의 교집합으로 기저를
생성해낼수 있잖아요.
그렇게 생성된 기저를 B라하면 B의 위수는 유한개가 되니까 결국 집합 A는 유한개의 기저로 생성되는 공간이니 제2가산공간이라 볼 수 있고, 그러면 가분공간이 되지 않나요?

결국 A집합이 cpt이면 가분공간이 된다는건데 실제로는 반례인 공간들이 워낙 많아서... 위 증명중에 뭐가 틀렸을까요?