[대학교이상] factor group, show that R/nR={nR} 질문

[익명(218.235)]

( nR:={nr|r of R, n is 자연수} )

R/nR = {nR}

since for any r of R, r=n·r/n is contained in nR

로 보이면 충분할까요?

[망령(ulckmj)]

뭐 이렇게 죄다 의문 투성이인 질문이 있냐... 애초에 두 집합 A=B에 대해 A=B를 보이려면 임의의 A의 원소가 B의 원소도 됨을 보이고 그 역도 따로 보여야함. 이걸 생각하고 내 생각을 적어보면...

[망령(ulckmj)]

1. group이 아니라 ring 아니냐? 왜냐면 R/nR라는 표현에서부터, R이 group이면 nR는 항상 R의 normal subgroup이라는 얘기가 되잖아 따라서 너가 문제 전문을 썼다는 가정하에, 말이 안 됨. 하지만 nR이 R의 아이디얼임은 보일 수 있기에 이건 말이 되네.

[망령(ulckmj)]

2. nR표현도 이상해보이는데? 너가 nR:={nr|r of R, n is 자연수}라고 써버리면 우변은 임의의 n에 대해 nr들의 집합이 되어버림. 근데 명백히 좌변을 보면 그걸 표현하고싶은건 아니잖아

[망령(ulckmj)]

3. 애초에 R/nR={nR}은 잘못되었음. R=Z, n=2만 넣어도 말이 안 됨. 이 경우 좌변은 {2Z, 1+2Z}가 되어버림 그런데 만약, 너가 2번에서 실수했듯이 {nR}이 아닌 {nRln은 자연수}를 말한거라면... 더 말이 안되는건 알지? 좌변은 하나의 n을 말하는데 우변은 갑자기 똑같은 n 기호를 쓴다? 심지어 R/nR={mRㅣm은 자연수}조차도 위의 반례 때문에 성립하지 않음.

[망령(ulckmj)]

4. 증명과정도 당연히 안 됨. 문제점이 두 가지 있는데 첫번째는 너가 보인건 R의 nR의 부분집합이다라는 것이고, 두번째는 애초에 R이 nR의 부분집합이 아니듯이(왜냐면 이 경우 R=nR이 되어버리잖아), 그 증명 과정마저 잘못되었음. r/n이 무엇인지 설명 가능함? nr은 r이라는 R의 원소를 n번 덧셈(R의 덧셈)한거잖아. 즉 R의 원소끼리의 덧셈의 반복으로 정의가 됨. 그런데 r/n은 뭐임? 어떻게 정의할지 말도 안하고 막 쓰면 난 몰루... 정의한다손 쳐도 그걸 따로 r/n이 정말 R의 원소인지 보여야함.

[망령(ulckmj)]

노파심에 덧붙이자면 R의 두 원소 a, b에 대해 ab를 말하는 것과 R의 원소 a와 자연수 n에 대해 na를 말하는 것은 서로 완전히 다른 연산을 말하고 있음. 전자는 R에서의 곱셈연산이고, 후자는 덧셈의 반복(R의 곱셈연산이 아닌, 우리가 아는 그 곱셈)임

[익명(14.40)]

내일 해석학 시험보는데.. 그거 끝나고 읽어볼께요 지우지 말아주세요