(-1)의 1/3승은 -1일까요?
y=x^1/3의 그래프를 그려보면 사이트오피셜로 이 함수는 음수에서도 정의되며 (-1,-1)점을 지납니다. 즉 (-1)의 1/3승은 -1이라는 뜻인데요
그래프에따르면 음수의 지수가 가능할것도 같습니다.
그런데 문제점이 있습니다.
아래는 고등학교 교과서에서 가져온 내용입니다.
음수의 유리수지수가 정의되려면 지수법칙이 성립하도록 정의되어야 할테고
그렇게하면 위의 식을 이용하면 다음과 같이 모순이 발생합니다.
(-1)의 1/3승이라는것을 정의한다면 -1이어야하는데 (그래프), 그렇게하면 다시 지수법칙에 의해서 모순이 발생합니다.
결국 이것은 정의가 되는건가요? 안되는건가요?
만약 정의가 안된다면 저 그래프는 어떻게 그려질수있는지... 정의가된다면 지수법칙은 성립이 안하는건지... 혼란스럽습니다.
아시는분 답변부탁드립니다...
다가함수 정의 보고오면 해결될수도
음... 다가함수와 저 문제의 연관성을 잘모르겠네요....
당연히 밑이 양수일 때만 지수법칙이 성립하도록 유리지수, 실수지수를 정의했으니 당연히 밑이 음수라면 지수법칙이 성립한다고 말을 못하지 너가 '정의가 이래서 안되는구나'하고 본문에 답까지 다 내어놨구만 궁금한게 뭔지 모르겠음.. 일반적인 경우의 정의를 묻는거라면, 복소함수론 내용이 필요한데 이게 궁금한거임? 정말 알고싶은게 뭔지 생각 정리해서 물어봐주셈. 너가 뭘 알고싶은지 모르겠음
추가로 너는 정의가 되는 근거로 그래프 얘기를 했는데, (-1)의 1/4승은? 이건 그래프에 따르면 정의가 안되잖음 그러면 자연스래 1/홀수 형태만 정의가 될텐데, 지수가 유리수인 이런 경우는 뭐 그렇다 치자고. 그런데 지수가 실수인 경우는 어떻게 할건데? 이 경우에도 너가 언급한 그래프 만으로 확장이 가능할까? 그러니까 너는 특수한 경우에만 정의된다고 해서 그걸 일반화시키겠다고 말한것과 같음. 그러면 과연, 특수한 경우에만 쓰는 그런 표현이 의미가 있을까? a^x를, a가 음수이고 정의역을 x가 n/m(n은 정수, m은 홀수정수)인 특별한 경우에만 정의하는것이 과연 의미가 있을까? 그냥 a^x (a>0, 정의역은 실수전체)라고 하는게 더 의미있지 않을까? 하는거임.
질문내용을 요약해보자면 (-1)^(1/3)이 정의가안된다고 되있는데 함수 f(x)=x^(1/3)는 어떻게 정의역에 음수를 포함하냐? 이거였습니다.
그럼 (-1)^(1/3)은 복소수까지 확장해보면 z^3+1=0의 근으로 해석하면되겠지요? 아무튼 답변감사합니다.
ㅇㅇ 니 말이 맞음. 그래서 다가함수라는 얘기가 나오는거임. 사실 그러면 한 가지 지수 표현에 두 가지 뜻이 있는 셈이니, 아예 복소함수론을 모르면 정의가 안 된다고 퉁쳐버리는게 편함. (4^(1/2)을 예시로 두면 고등학교때는 2제곱근4, 복소함수론에서는 제곱해서 4가나오는 수) 참고로 복소함수론의 확장 방식은, 밑이 e인 경우에 한하여 + 이 경우는 다가함수가 아니도록 조정하여 + 여기에 너가 언급한 지수법칙을 활용하여 정의함. 이를 이용하여 밑이 e가 아닌 경우는 아무튼 다가함수로 정의해버림 (정확하게는, 밑이 e인 경우는 e^z라기보다는 exp(z)를 정의한다고 보는게 맞음. 왜냐하면 e^(1/2)는 여전히 다가함수라 받아들여질 여지가 있지만 exp(1/2)는 그렇게 받아들여질 여지가 없기 때문.)
댓글 수정하려고 지우고 쓰다가 꼬여서 밑에 남김 보면 알다시피, 확장 과정에서 지수법칙은 가장 최초에만 쓰이고 나머지 일반적인 경우는 지수법칙으로 확장하지 않음. 그래서 지수법칙이 성립한다고 말 못하는것임 (실제로 성립도 안함)
정의할 수 있는데 지수법칙은 성립 안 하고 네 생각보단 복잡함
그리고 이거랑 별개로 x^(1/3) 같은 경우는 그냥 세제곱근으로 이해하기로 하면 x가 음수일 때도 잘 정의가 되겠지
아하... 정의가능한데 지수법칙은 성립안하는거군요... 유리수지수가 정의가되려면 지수법칙도 반드시성립해야하지않나? 이런 생각때문에 햇갈렸던것같습니다.
well-define에 대해서 좀 알아보셈
1/3승은 세제곱근이니까 그냥 구해도 상관없음. 근데 위에서 말했듯이 지수법칙을 쓰려면 지수법칙의 조건인 밑>0을 맞춰줘야함. 어떤 수의 n제곱이 궁금하명 너가했던데로 방정식으로 풀던 그래프그려서 풀던 하면댐