[대학교이상] 위상질문합니다

[다섯가지자아(123.214)]

여기서 연결성분C 구하는 문제입니다 T_1의 기저를 알아냈고 푸는데 답지에는 {2-sqrt2,sqrt2}로 원소 두개인 집합형태이더라구요저는 당연히 구간으로 나타내어야하는줄 알아서 구간만 생각해서 풀려고해서 안되던데…왜 그런지 알려주시면 감사하겠습니다

[익명(211.219)]

기저가 a<b≤1일 때 (a, b]∪[2-b, 2-a)들의 집합이니까, √2는 2-√2랑만 연결돼 있지

[망령(ulckmj)]

f는 연속함수이므로 연결집합C의 상 또한 연결. 따라서 f(C)는 한 점 집합(하한위상공간의 연결집합은 trivial한 집합밖에없음) 따라서 C에 sqrt2가 있으므로 f(C)={sqrt2-1} 이 때 f(A)={sqrt2-1}인 A중 가장 큰 집합이 {2-sqrt2,sqrt2}임.

[망령(ulckmj)]

하지만 T1의 열린집합이 점 a를 포함할때 a의 1에대한 대칭점 2-a또한 열린집합에 반드시 포함되므로 두 점을 따로 포함하는 열린집합은 존재하지않음. 즉 분리가 없으므로 연결.