[https://mathworld.wolfram.com/FlintHillsSeries.html]
얼마전에 Flint Hill Series라는 걸 찾아보고 신기하다하고 넘어갔는데,
궁금한건, k != 3인 경우는 비교판정법 같은 대1 미적분학에서 배우는 테크닉으로 증명이 가능한가?? 에요
그냥 k = 1, 2인 경우는 발산할 것 같고, k >= 4 부터는 수렴할 것 같은 느낌인데
방법은 잘 모르겠음,,,
비교판정법 잡아보려는 시도는 csc^2 꼴이 까다로워서 좀 어렵네요
혹시 방법이 있을까요??
임의의 정수 n,m에 대해서 |sin(n)| = |sin(n - m*pi)|인데, |n - m*pi| = m|n/m - pi|니까.. 결국 pi를 얼마나 잘 유리수 근사할 수 있는지에 따라서 |sin(n)|에 대한 좋은 근사를 얻을수 있음. 그래서 이를 위해서 pi의 irrationality measure를 생각하는게 자연스럽고,
pi의 irrationality measure가 유한하다는건 잘 알려져 있고, 가장 좋은 upper bound는 7.2 정도인데, irrationality measure의 정의를 이용하면 k가 2*(pi의 irrationality measure) - 1보다 크면 csc^2(n)/n^k의 합이 절대수렴한다는걸 대학교 1학년 미적분학 수준에서 증명할 수 있음. 그러니까 일단 k가 14 이상이면 절대수렴한다는건 알 수 있겠네.
그리고 마찬가지로 irrationality measure의 정의로부터 csc^2 n / n^k이 0으로 수렴하려면 pi의 irrationality measure가 1 + k/2 이하여야 한다는걸 보일수 있음. 그러니까 k >= 4부터 저게 수렴한다는걸 보이려면 최소한 pi의 irrationality measure가 3 이하가 되어야 하는데, 현재 best upper bound가 7.1xx 수준이니 이를 증명하기에는 아직 한참 멀었다는걸 알 수 있지. 따라서 만약 k >= 4부터 저게 수렴한다는걸 증명할 수 있다면, 논문거리가 됨.
애초에 생각하던 것보다 훨씬 까다로운 문제였네요; 감사합니다