x^n-1=0의 e^(2(pi)i/n)=w라 할때 기약다항식을 p(x)라 할때
이 p(x)의 모든 근들은 w와 마찬가지로 n승의 배수를 곱할때만 1이 되는건 알겠습니다
(만약 다른 근중 하나가 n의 약수 m에 대해 m승이 1이면 p(x)|x^m-1이 되니 모순)
그러면 반대로 w와 마찬가지로 n승의 배수를 곱할때만 1이되는 근들이 전부 p(x)의 근이 되는건지 궁금합니다.
이 p(x)의 모든 근들은 w와 마찬가지로 n승의 배수를 곱할때만 1이 되는건 알겠습니다
(만약 다른 근중 하나가 n의 약수 m에 대해 m승이 1이면 p(x)|x^m-1이 되니 모순)
그러면 반대로 w와 마찬가지로 n승의 배수를 곱할때만 1이되는 근들이 전부 p(x)의 근이 되는건지 궁금합니다.
그.. 질문 의도는 알겠는데 사용하는 용어들이 엄청 이상해서 보는 입장에서는 다의적 해석이 가능함 그래서 내 맘대로 니 의도를 해석해서 답 달겠음. 이 답이 아닌거 같으면 대댓 ㄱ n제곱해서 1이 되는 복소수를 a라고 두면 a^n-1=0가 성립하지만 a가 그 기약다항식 p(x)의 근이라고는 말 못함. 그러니까 f(x)=x^n-1라 두면 f(x)=p(x)q(x)일 때, a가 f(x)의 근이라고 해서 a가 p(x)의 근이라고는 말 못한다는 뜻임 n=4,a=-1인 경우만 생각해도 됨. w=i이고 p(x)=k(x^2+1) (k는 실수)이지만 -1은 p(x)의 근이 아님. (p(x)의 근은 i와 -i밖에 없기 때문)
아 잘못말함.., p(x)=irr(w,Q)를 말하려던 거였음..
w가 저렇게 주어졌을때 w의 최소다항식을 p(x)라 둔다고 말할랬는데 잘못말함....
아무튼 해결된건 맞음? 맨 아래 반례에서 p(x)=x^2+1라고만 바꾸면 되니까 말임
w가 주어졌을때 w와 Z*(n)에서 위수가 같은 원소들은 같은 기약다항식을 공유하는지가 궁금하다는 말이었어요..
가령 x^4-1=0은 (x+1)(x-1)(x^2+1)로 인수분해 되는데 이때 w=e^(1(pi)i/2)라 하면 irr(w,Q)=x^2+1이 되잖아요. 이때 w와 같이 4제곱 해야지만 1이되는 원소는 전부 irr(w,Q)의 근들이 되는데, 이걸 n으로 확장시켜도 성립하는지가 궁금해요.
Z*(n)가 무슨 기호인지 잘 몰라서.. 설명 가능함? 그리고 w와 같이 4제곱해야 1이 되는 원소는 그냥 z^4=1의 근이라서, (그리고 원소라 했는데, 어떤 집합의 원소를 말하는거임? Z*(n)인가) 위에 쓴 반례처럼 전부가 irr(w,Q)의 근이 되지는 않음. -1은 근이 아니니까. 근데 이게 너가 말한 Z*(n)기호와 연관되어 있다면 상황은 달라질수도
글쓴이는 질문할 때 용어 사용에 주의를 기울이고, 망령은 글쓴이 글 다시 읽으셈. 지금 -1은 상관이 없지. (-1)^2=1이라 4의 배수가 아닌 녀석을 power로 삼아도 1이 되는데. 그리고 글쓴아 이거 내가 어젠가 그젠가 답변해 준 내용 아니냐?
아 n승의 배수를 곱할때만 1이라는게 a^nk=1(k는 임의의 자연수) 얘기가 아니라 a^r=1이 성립할 때 nlr 라는 얘기구나 이해했음
ㅈㅅㅈㅅ/ ㅇㅇ 답변해준내용인데, 그때는 같은 최소다항식을 공유하면 그 안에있는 근들은 전부 같은 power에서만 1이된다고까지만 이해했음.(그보다 작은 power에선 1이 안되고) 근데 혼자 생각해보니 그 역이 성립하는지는 모르겠어서 질문 올렸음.
혼자 증명해볼려고 했는데... 내가 알고있는 정리밖의 내용인지 한계가 찾아오길래.../x^n-1=0의 근 중 1이 되기위한 최소 power를 n이라 할때, 그 근들은 전부 같은 최소다항식을 공유하는지가 궁금했던거..
ㄴ 이것도 말을 잘못썻네. x^n-1=0의 근들중 n제곱 해야지만 1이되는 근들의 최소다항식이 같은가? 가 맞는 질문인듯.
그러면 결국 (n,k)=1인 자연수 k ( < n)에 대해 w와 w^k가 Q상에서 켤례냐는건데.. n이 소수일때와 2^m꼴일때밖에 맞다고 못하겠다
일단 n이 소수라면 x^n-1=(x-1)(1+x+..+x^(n-1))인데, (1+x+..+x^(n-1))는 Q에서 기약이 되니까 맞긴 함. n이 2^m꼴이라면 x^n-1=(x^(2^(m-1))+1)(나머지 2^(m-2) 이하의 다항식들의 곱)에서 (x^(2^(m-1))+1)=p(x)라 두면 p(x)는 Q상에서 기약이고 w는 2^(m-1)제곱 시 -1이 되므로 p(x)의 근이므로 irr(w,Q)가 되며, 결국 (n,k)=1인 k( < n )들의 개수는 φ(2^m)=2^(m-1)=deg(w,Q)가 되므로 결국 irr(w,Q)의 모든 근들이 우리가 찾는 w^k꼴밖에 없음이 증명되니까 맞긴 함 근데 나머지 경우는 잘 몰?루 임의의 n에 대해 irr(w,Q)를 구체적으로 찾을 수 있나? 아니면 일반적으로 가능한가?
생각해줘서 고마워