파동방정식을 보면

a * u_xx = u_tt

IC: u(x,0) = f(x), u_t(x,0) = g(x) 

BC: u(0,t) = u(L,t) = 0

일반적으로 초기조건 경계조건의 개수는 편도함수의 차수와 같아야되잖아 그래야 적분상수를 결정할수 있으니까


그런데 공간변수가 반무한이거나 무한이면 필요한 경계조건 개수가 하나씩 줄잖아?(내피셜 교과서 관찰 결과)

예를들어

a * u_xx = u_tt (0<x)

IC: u(x,0) = f(x), u_t(x,0) = g(x) 

BC: u(0,t) = 0 


a * u_xx = u_tt (for all x)

IC: u(x,0) = f(x), u_t(x,0) = g(x) 


이러면 x의 구간이 무한대라는 것 자체가 경계조건인거임? u가 0으로 수렴한다고 가정하는건가?

그리고 이렇게 문제를 풀면 실제로 0이 플마 무한대일때 u가 수렴함?


두번째는 어떤 조건에서 라플라스/푸리에 변환을 써야하냐 이건데

파동방정식을 각 적분변환을 이용해서 푸는 과정을 보면


a * u_xx = u_tt


라플라스: aU'' = s^2 U(x,s) - su(x,0) - su_t(x,0)

여기에 초기조건 대입하면 U에대한 ode가 나오고 이거 푼거 U(x,s)에다가 경계조건도 변환해서 적분상수 결정

t가 아닌 x를 변환해도 결국엔 초기조건과 경계조건이 2개가 필요함


푸리에사인변환: a(-w^2 U(w,t) + w u(0,t)) = U''

여기서는 경계조건 u(0,t) 하나만 있으면 ode를 구할수 있음(초기조건 2개 대입)


푸리에변환: -aw^2 U(w,t) = U''

경계조건에 대한 식이 없음 


그럼 위에 3개의 문제는 각각 라플라스, 푸리에사인/코사인변환, 푸리에변환 으로'만' 풀어야하는거야?


정리

1) 경계조건이 0, L에서 주어졌다면 그 해는 기본주기가 2L인 푸리에급수로 나타남 - 라플라스 변환

x가 무한대면 푸리에급수에서 L->inf인 경우니까 푸리에적분

2) (0,inf)인 구간이면 반구간전개처럼 푸리에사인적분으로 됨 - 푸리에 사인/코사인 변환

3) (-inf, inf) - 푸리에변환


내가 이해한게 맞음?