안녕하세요 고2입니다 수1풀다가 느낀건데
수열이 다항함수형태이면 (다항함수형태의)수열을 1부터 n까지 다 더한식도 다항함수형태인가요?
예시)시그마x^2=n(n+1)(2n+1)/6
내가 최대한 생각해본결과 0을 포함한 모든 자연수 n에 대해 시그마x^n 이 다항함수형태로 식이 나오면 될거같은데
배운건 x의3승 까지만 배워서 그 이후로는 다항함수형태로 나오는지 증명을 못하겠어요
질문하기에 적합한곳이 여기라고 생각해서 질문드려요
수열이 다항함수형태이면 (다항함수형태의)수열을 1부터 n까지 다 더한식도 다항함수형태인가요?
예시)시그마x^2=n(n+1)(2n+1)/6
내가 최대한 생각해본결과 0을 포함한 모든 자연수 n에 대해 시그마x^n 이 다항함수형태로 식이 나오면 될거같은데
배운건 x의3승 까지만 배워서 그 이후로는 다항함수형태로 나오는지 증명을 못하겠어요
질문하기에 적합한곳이 여기라고 생각해서 질문드려요
그야 다항식 n개를 더한거니 그 결과도 다항식이 될수밖에...
뭔가 증명해보고 싶은데 힌트라도 있을까요..?
다항식의 합은 교환과 결합법칙이 성립하고 합에 대해서 닫혀있음. 따라서 2개의 다항식의 합은 다항식이고, 이를 n개까지로 확대가능하니까 다항식이 될수밖에없음.
음.. 알겠습니다 감사합니다
Sigma(1<=x<=n) x^k이 n에 대한 다항식이라는 다항식이라는 것만 증명하면 Sigma (1<=x<=n) f(x) for f(x) in R[x]가 n에 대한 다항식이라는 게 linearity에 의해 증명되고 저 위에 명제는 Faulhaber formula (아니면 Bernoulli sum) 검색 ㄱ
오..알겠습니다 감사합니다
시그마 x^2=n(n+1)(2n+1)/6을 유도하는 것과 똑같은 방법으로 x^k의 합도 n애 대한 다항함수로 나타남을 보일 수 있음
그렇군요 도전해 보겠습니다
노가다 해야됨
되긴 계속해서 됨
1. 모든 다항식은 1, x, x(x+1), x(x+1)(x+2), x(x+1)(x+2)(x+3) , .... 들의 선형결합으로 표현가능함. 2. 모든 자연수 n,m에 대해서 ∑k(k+1)...(k+m-1) = n(n+1)...(n+m) / (m+1)가 성립한다는걸 보일수 있음. (∑는 k=1부터 n까지 합) 1,2에 의해서 본문의 내용이 참이라는 사실을 얻게 됨.
1번은 예를 들어서 4x^3 + 10x^2 + 20 + 1이라는 다항식이 주어졌으면 최고차항의 계수가 4니까, 4x(x+1)(x+2)를 빼서 차수를 하나 낮출수 있음. 마찬가지로 이런 과정을 반복하면 결국 상수항만 남게 됨. 이걸 수학적 귀납법을 써서 깔끔하게 증명할 수 있고, 2번은 S_0 = 0, a_1+...+a_n = S_n인것과 a_n = S_n - S_{n-1}인것이 동치라는 사실을 이용해서, k(k+1)...(k+m) / (m+1) - (k-1)k...(k+m-1) / (m+1) = k(k+1)..(k+m-1)이라는걸 보이기만 하면 충분.
와ㅋㅋㅋㅋ 고순가 다항식을 저렇게 표현하는건 처음 보네요 감사합니다 표현되긴 하군요
s_n = 다항식 s_n - s_n-1 = a_n도 다항식 a_n은 모든 다항함수가 될 수있음 증명: 모르겠음
모든 함수 f(x)는 테일러 정리에 의해 다항함수로 표현이 가능함. 결국 표현이 가능하냐고 묻는거면 가능.