Let X be a metric space with metric d .
(a) Show that d:X×X→R is continuous.
(b) Let X′ denote a space having the same underlying set as X . Show that if d:X′×X′→R is continuous, then the topology of X′ is finer than the topology of X .
One can summarize the result of this exercise as follows: If X has a metric d , then the topology induced by d is the coarsest topology relative to which the function d is continuous.
(a)는 풀었는데
(b)에서 뭘 말하려는건지 모르겠음
내가 독해한바로는 X에 d로 유도된 거리위상을 T라하고
임의의 함수 f:X*X->R 가 있을때 연속이 되게하는 X의 위상을 T'(함수 f에 따라 달라짐)라 하면
T⊆T' 이다. 이거같은데.. 맞음?
정확하게 설명좀 해주세요
a에서 metric이 연속임을 보였잖아 b에서 말하는 건 그 metric을 연속으로 만드는 위상은 항상 더 finer하다는거지
아하 이떄 X의 metric d라는 함수는 위상하고 별개로 주어지고 위상은 따른게 주어졌을때 이 위상은 항상 거리위상보다 파이너하다?
ㅇㅇ 뒤에도 적혀있듯이 metric으로서 d가 주는 위상이 d를 연속으로 만드는 가장 coarse한 위상이야