선대 배우는 중인 공대생 수린이 입니다
공학 공부하던 습관 대로 항상 증명이나 개념의 원리를 중요하게 생각해왔는데,
어느정도 진도가 나가니 이게 꼭 기계장치 처럼 어떤 원리가 있어서 증명이 되는게 아니라 그냥 구조상 그렇게 되는 경우가 많더라구요.
모순을 가정하고 증명하는 것들도 있는 것처럼 수학 공부할때는 원리가 보이지 않아도 그냥 받아들여야 하는 것도 있는 건가요?
당장에 페르마 정리도 그냥 정수 구조상 되니까 되는거지 무슨 원리가 있지는 않은것 같은데
제 표현이 많이 아마추어적이지만 분명 처음 공부하는 분들도 자주 느낌 내용일 것 같습니다.
조언 부탁드려요
공학 공부하던 습관 대로 항상 증명이나 개념의 원리를 중요하게 생각해왔는데,
어느정도 진도가 나가니 이게 꼭 기계장치 처럼 어떤 원리가 있어서 증명이 되는게 아니라 그냥 구조상 그렇게 되는 경우가 많더라구요.
모순을 가정하고 증명하는 것들도 있는 것처럼 수학 공부할때는 원리가 보이지 않아도 그냥 받아들여야 하는 것도 있는 건가요?
당장에 페르마 정리도 그냥 정수 구조상 되니까 되는거지 무슨 원리가 있지는 않은것 같은데
제 표현이 많이 아마추어적이지만 분명 처음 공부하는 분들도 자주 느낌 내용일 것 같습니다.
조언 부탁드려요
니가 말하는 페르마 정리가 뭔데?
아 대중적으로 유명한 페르마의 마지막 정리 말하는 건데 혹시 표현이 틀렸다면 양해 부탁드립니다. 제 글의 요지는 수학 공부할 때 왜? 라는 궁금증이 드는데 이걸 해결하지 않아도 되는지 물어보려는 것입니다
선대를 예로들면 자기수반연산자의 특성다항식은 항상 R위에서 완전 인수분해된다는 내용을 보고 왜? 라는 질문을 해도 되는건지 그냥 받아들여야 하는건지 궁금합니다
책에나오는 증명도 그냥 자기수반연산자의 존재하는 고윳값은 자기수반연산자의 조건에 따라 관찰해보면 실수 일수밖에 없다 이런 관점이던데 여기서 '어떻게' 실수가 되는건지 그 과정을 궁금해하는게 불필요한 호기심인지 궁금합니다
질문의 요지가 확실하진 않지만 대충 해석해서 답을 해봄. 일단 예로 든 자기수반연산자의 고윳값이 전부 실수라는건 스펙트럼 정리라는 정리의 결과임. 그리고 스펙트럼 정리의 증명은 절대로 "자기수반연잔자의 조건에 따라 관찰해 본다"가 아님.
페르마의 마지막 정리는 무시하는건 아니고 정리의 증명은 99.999% 이해하지 못했을거라고 확신하는데 (나도 그렇고 애초에 그 분야의 수학을 이해할 수 있는 수학자 자체도 드묾), 당연히 정수론에서 얻어지는 정리들은 정수의 구조를 우리가 그렇게 정했으니 거기서 따라나오는 필연적인 결과일 수 밖에 없음. 애초에 수학은 무에서 유를 창조하는게 아니라 우리가 받이들이기로 한 공리들에서 연역적으로 진리를 얻어내는것이니 당연히 거슬러 거슬러 올라가면 모든 이유는 그 공리들로 귀결될 수 밖에 없음.
그리고 기계장치를 예로 들었는데, 기계장치에도 똑같은 얘기를 적용할 수 있음. 물건이 아래로 떨어지는 기계장치에서 왜 물건이 아래로 떨어지냐 물으면 당연히 중력때문이고, 중력이 왜 생기냐고 물으면 질량이 공간을 휘도록 하게 하기 때문이고, 왜 질량이 공간을 휘게 하냐고 물으면 그냥 그게 이 우주의 성질이라 그런거라고 말 할 수밖에 없음. 그런 의미에서 난 질량이 공간을 휘게 한다는 소리보다 선택공리가 더 자연스럽게 느껴짐.
"진짜" 증명의 구체적인 예시를 가지고 어느 부분이 원리에 입각하지 않았는지 집어준다면 토론하기가 더 편하겠지만 수학이든 물리학이든 공학이든 결국 엄밀하게 하나 하나 모든 세부사항을 다 증명한다면 결국 근본 원리에 기댈 수 밖에 없는 시점이 옴. 차이라면 자연과학의 근본 원리는 자연 법칙이고 수학의 근본 원리는 (자연 법칙을 인간이 최대한 흉내내고 이상화시킨) 인공 법칙이라는 차이인거지.
글보면 그냥 대상이 추상적이라 그렇게느끼는것같은데요?? 좀더 친숙한 중력을 생각해보세요. 중력이 존재하는걸 보일수있고 그 값도 계산할수있지만 중력이 왜존재하는지는 모릅니다... 달에는 중력이없을줄 알았는데 어이쿠 있네요. 중력은 왜존재할까요? 관성질량이 존재해서? 아니 관성질량은 어떤 원리로 존재하는건지 모르겠고 그냥 물체가있으면 일단 있는데
하지만 중력이란걸 그냥 근본원리로 산정하고 좀 구체적인 계산을 해봅시다. 밀물썰물 중력가속도 탄도학 캐플러법칙등등을 공부하면 마치 너무자명해서 중력의 원리로부터 자연스럽게 결과들이 도출되는거같아요.