[일반] 이거 해가 이차함수밖에없음?

[익명(14.37)]

실수전체에서 미분가능한 f가

서로다른 임의의 두 실수 x y에 대해

f(2x)-f(2y)=(2x-2y)f'(x+y)

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[Euler(lonelymath)]

1. 먼저 주어진 식으로부터 f가 무한번 미분가능하다는 사실을 얻음. 2. 양변에 x에 대한 편미분을 취하면 2f'(2x) = 2f'(x+y) + (2x-2y)f''(x+y)를 얻음. 따라서 f'(2x) - f'(x+y) = (x-y)f''(x+y). 3. 이제 u=2x, v=x+y로 치환하면 f'(u) - f'(v) = (u-v)f''(v)를 얻음. 따라서 v를 상수로 취급하면 f'는 일차함수가 되므로, f는 이차함수일수밖에 없음.