[일반] 산술•기하 평균의 수학적귀납법증명 중 의문이 듬

[익명(118.235)]

k=n일때를 가정했을때

k=n+1일때를 바로보이기가 애매해서

저런 특이한 방식으로귀납법을 우회적으로 적용시켜

그냥 바로, n일때 n+1도 된다 보이는

방법은 없을까? 궁금해

(전자처럼 우회적으로일단 증명해놔도

결론적으로는 n일때 n+1이됨을 보인거라

질문이 이상해보이지만.. 잘 표현하는법을

몰라서 저렇개표현햇어.

- dc official App

[익명(118.235)]

스택에 찾아보면 나올거같은데 - dc App

[Euler(lonelymath)]

https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means#Proof_by_induction_#1

[Euler(lonelymath)]

요약하자면, 먼저 모든 수에 상수배를 취해도 산술기하평균 부등식은 성립하니까 편의상 x_1 + ... + x_{n+1} = n+1이라고 가정할 수 있음. 그렇다면 x_1 ... x_{n+1} ≤ 1 이하임을 보이고, =1인 경우는 x_1 = x_2 = ... = x_{n+1} = 1인 경우가 성립함을 증명하면 충분함. 1. n+1개의 모든 수가 1이 아니라면, x_1 , ... , x_{n+1}의 평균은 1이므로 어떤 i≠j에 대해서 x_i > 1이고 x_j < 1을 만족함. 적당히 수를 재배열해서 편의상 x_n > 1, x_{n+1} < 1이라고 가정할 수 있음.

[Euler(lonelymath)]

2. 이제 y = x_n + x_{n+1} - 1로 두면 x_1 + ... + x_{n-1} + y = x_1 + ... + x_{n+1} ≤ 1을 만족함. 이제 (x_1,..,x_{n-1},y)에 대해서 수학적 귀납법을 쓰면 x_1 x_2 ... x_{n-1} y ≤ 1을 얻음. 3. 이제 x_n x_{n+1} < y를 보인다면 x_1 x_2 ... x_{n-1} x_n x_{n+1} < x_1 x_2 ... x_{n-1} y ≤ 1이 증명되므로 목적을 달성할 수 있음. 한편 x_n x_{n+1} < y = x_n + x_{n+1} - 1은 (x_n - 1)(1 - x_{n+1}) > 0과 동치인데, 이는 1에서 x_n과 x_{n+1}의 가정에 의해서 성립함.

[Euler(lonelymath)]

말이 엇나갔는데, 두번째 댓글에서 "모든 수에 상수배를 취해도 산술기하평균 부등식은 성립하니까"를 "모든 수에 상수배를 취하는건 부등식의 양변에 똑같은 상수배를 취하는거니까"로 생각해주면 됨. 예를 들어서 (x_1 , ... , x_n)에 대해서 산술기하평균 부등식을 보이는건 (x_1 + ... + x_n) / n ≥ (x_1 ... x_n)^{1/n}을 보이는건데 여기에 상수 C>0배를 취한 (Cx_1, ... , Cx_n)에 대해서 산술기하평균 부등식을 보이는건 C * (x_1 + ... + x_n) / n = (Cx_1 + ... + Cx_n) / n ≥ (Cx_1 Cx_2 ... Cx_n)^{1/n} = C (x_1...x_n)^{1/n}을 보이는거라서 결국 보여야하는 부등식은 동일함.